1. Énoncé du problème : Étudier la fonction $g$ définie par $g(x) = x + 1 + e^{-x}$. 2. a) Ensemble de définition de $g$ : La fonction $g$ est définie pour tout réel $x$ car $x$, $1$ et $e^{-x}$ sont définis pour tout $x \in \mathbb{R}$. Donc, $D_g = \mathbb{R}$. 3. b) Limites de $g$ aux bornes de $D_g$ : Calculons $\lim_{x \to -\infty} g(x)$ : $$\lim_{x \to -\infty} (x + 1 + e^{-x}) = \lim_{x \to -\infty} x + 1 + \lim_{x \to -\infty} e^{-x} = -\infty + 1 + +\infty = +\infty$$ car $e^{-x} = e^{|x|} \to +\infty$ quand $x \to -\infty$. Calculons $\lim_{x \to +\infty} g(x)$ : $$\lim_{x \to +\infty} (x + 1 + e^{-x}) = +\infty + 1 + 0 = +\infty$$ 4. c) Dérivée $g'(x)$ : $$g'(x) = \frac{d}{dx} (x + 1 + e^{-x}) = 1 + 0 + (-1) e^{-x} = 1 - e^{-x}$$ 5. d) Tableau de variation de $g$ : Étudions le signe de $g'(x) = 1 - e^{-x}$. Puisque $e^{-x} > 0$ pour tout $x$, on a : - $g'(x) = 0 \iff 1 = e^{-x} \iff e^{x} = 1 \iff x = 0$ - Pour $x < 0$, $e^{-x} > 1$ donc $g'(x) = 1 - e^{-x} < 0$ (décroissante) - Pour $x > 0$, $e^{-x} < 1$ donc $g'(x) = 1 - e^{-x} > 0$ (croissante) Donc $g$ décroît sur $(-\infty, 0)$ et croît sur $(0, +\infty)$ avec un minimum en $x=0$. Calculons $g(0)$ : $$g(0) = 0 + 1 + e^{0} = 1 + 1 = 2$$ 6. e) Signe de $g(x)$ : Comme $g$ décroît jusqu'à $x=0$ avec $g(0)=2 > 0$ et tend vers $+\infty$ aux extrémités, $g(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. 7. Étude de la fonction $f(x) = \ln(g(x))$ : a) Ensemble de définition $D_f$ : La fonction logarithme est définie pour les arguments strictement positifs, donc $D_f = \{x \in \mathbb{R} : g(x) > 0\} = \mathbb{R}$. b) Limites de $f$ aux bornes de $D_f$ : $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \ln(g(x)) = \ln(+\infty) = +\infty$$ $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \ln(g(x)) = \ln(+\infty) = +\infty$$ c) Dérivée $f'(x)$ : $$f'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)} = \frac{1 - e^{-x}}{x + 1 + e^{-x}}$$ d) Tableau de variation de $f$ : Le signe de $f'(x)$ dépend du signe de $g'(x)$ car $g(x) > 0$. - Pour $x < 0$, $g'(x) < 0$ donc $f'(x) < 0$ (décroissante) - Pour $x > 0$, $g'(x) > 0$ donc $f'(x) > 0$ (croissante) - En $x=0$, $f'(0) = 0$ Calculons $f(0)$ : $$f(0) = \ln(g(0)) = \ln(2)$$ Donc $f$ décroît sur $(-\infty, 0)$, atteint un minimum en $x=0$ avec $f(0) = \ln(2)$, puis croît sur $(0, +\infty)$. Réponse finale : - $D_g = \mathbb{R}$, $g$ décroît sur $(-\infty, 0)$, croît sur $(0, +\infty)$, $g(x) > 0$ pour tout $x$. - $D_f = \mathbb{R}$, $f$ décroît sur $(-\infty, 0)$, croît sur $(0, +\infty)$, minimum en $x=0$ avec $f(0) = \ln(2)$.