1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux fonctions : $$f(x) = x^2 - 2x + 1$$ $$g(x) = \sqrt{x + 1}$$ Nous devons étudier leurs variations, tracer leurs courbes, analyser les images de certains intervalles par $g$, puis étudier la fonction composée $h = f \circ g$. 2. **Tableau de variations de $f$ :** - $f(x) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$. - C'est une parabole tournée vers le haut avec un minimum en $x=1$. - $f'(x) = 2x - 2$. - $f'(x) = 0 \Rightarrow x=1$. - Pour $x < 1$, $f'(x) < 0$ donc $f$ décroît. - Pour $x > 1$, $f'(x) > 0$ donc $f$ croît. - Minimum de $f$ en $x=1$ vaut $f(1) = 0$. 3. **Tableau de variations de $g$ :** - $g(x) = \sqrt{x+1}$. - Domaine de définition : $x+1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$. - $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} > 0$ pour $x > -1$. - $g$ est strictement croissante sur $[-1, +\infty[$. - $g(-1) = 0$, $\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$. 4. **Images graphiques par $g$ :** - $g([-1;0]) = [g(-1); g(0)] = [0; 1]$. - $g([0; +\infty[) = [g(0); +\infty[ = [1; +\infty[$. 5. **Fonction composée $h = f \circ g$ :** a. Domaine $D_h$ : - $h(x) = f(g(x))$. - $g$ est définie pour $x \geq -1$. - $f$ est définie sur $\mathbb{R}$. - Donc $D_h = [-1, +\infty[$. b. Monotonie de $h$ sur $[-1;0]$ et $[0; +\infty[$ : - $g$ est croissante sur $D_h$. - $f$ décroît sur $]-\infty,1]$ et croît sur $[1,+\infty[$. - Sur $[-1;0]$, $g(x)$ varie de $0$ à $1$ donc $g(x) \in [0,1]$. - Sur $[0; +\infty[$, $g(x) \in [1, +\infty[$. - Sur $[0,1]$, $f$ décroît (car $x \leq 1$), donc $h$ décroît sur $[-1;0]$. - Sur $[1,+\infty[$, $f$ croît, donc $h$ croît sur $[0; +\infty[$. c. Expression de $h(x)$ : $$h(x) = f(g(x)) = (g(x))^2 - 2g(x) + 1 = (\sqrt{x+1})^2 - 2\sqrt{x+1} + 1 = (x+1) - 2\sqrt{x+1} + 1 = x + 2 - 2\sqrt{x+1}$$ d. Tableau de variations de $h$ sur $D_h = [-1, +\infty[$ : - $h(-1) = -1 + 2 - 2\sqrt{0} = 1$. - $h(0) = 0 + 2 - 2\sqrt{1} = 0$. - $h$ décroît sur $[-1;0]$ de $1$ à $0$. - Pour $x > 0$, $h$ croît car $f$ croît sur $[1,+\infty[$ et $g$ est croissante. **Résumé final :** - $f$ décroît sur $]-\infty,1]$, croît sur $[1,+\infty[$. - $g$ croît sur $[-1,+\infty[$. - $h$ décroît sur $[-1;0]$, croît sur $[0,+\infty[$. - Expression de $h$ : $$h(x) = x + 2 - 2\sqrt{x+1}$$