1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux fonctions : $$f(x) = x^2 - x$$ $$g(x) = \sqrt{x} + 2$$ Nous devons dresser le tableau de variations de $f$ sur son domaine $D_f$ et de $g$ sur son domaine $D_g$. 2. **Définition des domaines :** - Pour $f(x) = x^2 - x$, $f$ est un polynôme défini sur $\mathbb{R}$, donc $D_f = \mathbb{R}$. - Pour $g(x) = \sqrt{x} + 2$, la racine carrée impose $x \geq 0$, donc $D_g = [0, +\infty)$. 3. **Étude de la fonction $f$ :** - Dérivée : $$f'(x) = 2x - 1$$ - Trouvons les points critiques où $f'(x) = 0$ : $$2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$$ - Étudions le signe de $f'(x)$ : - Pour $x < \frac{1}{2}$, $f'(x) < 0$ donc $f$ décroît. - Pour $x > \frac{1}{2}$, $f'(x) > 0$ donc $f$ croît. - Valeur en $x=\frac{1}{2}$ : $$f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$$ 4. **Tableau de variations de $f$ :** $$\begin{array}{c|ccc} x & -\infty & \frac{1}{2} & +\infty \\ f'(x) & - & 0 & + \\ f(x) & +\infty & -\frac{1}{4} & +\infty \\\end{array}$$ 5. **Étude de la fonction $g$ :** - Domaine : $[0, +\infty)$ - Dérivée : $$g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$ - $g'(x) > 0$ pour tout $x > 0$, donc $g$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$. - En $x=0$, $g(0) = 2$. 6. **Tableau de variations de $g$ :** $$\begin{array}{c|cc} x & 0 & +\infty \\ g'(x) & + & + \\ g(x) & 2 & +\infty \\\end{array}$$ **Réponse finale :** - $f$ décroît sur $(-\infty, \frac{1}{2})$ et croît sur $(\frac{1}{2}, +\infty)$ avec un minimum en $x=\frac{1}{2}$ de valeur $-\frac{1}{4}$. - $g$ est strictement croissante sur $[0, +\infty)$ avec $g(0) = 2$.