1. Énonçons le problème : Trouver les variations de la fonction $f$ définie par $$f(x) = (x^2 + 1)e^{-3x}.$$ 2. Pour étudier les variations, on calcule la dérivée $f'(x)$ et on étudie son signe. 3. Utilisons la règle du produit pour dériver $f(x)$ : $$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) \cdot e^{-3x} + (x^2 + 1) \cdot \frac{d}{dx}(e^{-3x}).$$ 4. Calculons chaque dérivée : - $\frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x$ - $\frac{d}{dx}(e^{-3x}) = -3e^{-3x}$ (car dérivée de $e^{u}$ est $u' e^{u}$ avec $u = -3x$) 5. Donc : $$f'(x) = 2x e^{-3x} + (x^2 + 1)(-3 e^{-3x}) = e^{-3x}(2x - 3(x^2 + 1)).$$ 6. Simplifions l'expression entre parenthèses : $$2x - 3(x^2 + 1) = 2x - 3x^2 - 3 = -3x^2 + 2x - 3.$$ 7. Ainsi : $$f'(x) = e^{-3x}(-3x^2 + 2x - 3).$$ 8. Comme $e^{-3x} > 0$ pour tout $x$, le signe de $f'(x)$ dépend de celui de $-3x^2 + 2x - 3$. 9. Étudions le polynôme $P(x) = -3x^2 + 2x - 3$ : Calculons le discriminant : $$\Delta = 2^2 - 4 \times (-3) \times (-3) = 4 - 36 = -32 < 0.$$ 10. Le discriminant est négatif, donc $P(x)$ ne s'annule pas et garde le même signe. 11. Puisque le coefficient dominant de $P(x)$ est $-3 < 0$, $P(x) < 0$ pour tout $x$. 12. Donc $f'(x) = e^{-3x} P(x) < 0$ pour tout $x$. 13. Conclusion : La dérivée est strictement négative partout, donc $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. Réponse finale : $$\boxed{f \text{ est strictement décroissante sur } \mathbb{R}.}$$