1. Énoncé du problème : Trouver les variations de la fonction $$f : x \mapsto 3x \times \sqrt{2x + 7}$$. 2. Domaine de définition : La racine carrée impose $$2x + 7 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{7}{2}$$. 3. Calcul de la dérivée : On pose $$f(x) = 3x \sqrt{2x + 7} = 3x (2x + 7)^{\frac{1}{2}}$$. 4. Utilisation de la règle du produit : $$f'(x) = 3 \times \frac{d}{dx}\left[x (2x + 7)^{\frac{1}{2}}\right] = 3 \left[(2x + 7)^{\frac{1}{2}} + x \times \frac{1}{2} (2x + 7)^{-\frac{1}{2}} \times 2\right]$$. 5. Simplification : $$f'(x) = 3 \left[(2x + 7)^{\frac{1}{2}} + x (2x + 7)^{-\frac{1}{2}}\right] = 3 \left[\frac{2x + 7}{\sqrt{2x + 7}} + \frac{x}{\sqrt{2x + 7}}\right] = 3 \frac{2x + 7 + x}{\sqrt{2x + 7}} = 3 \frac{3x + 7}{\sqrt{2x + 7}}$$. 6. Étude du signe de $$f'(x)$$ : Le dénominateur $$\sqrt{2x + 7} > 0$$ pour $$x > -\frac{7}{2}$$. Le signe de $$f'(x)$$ dépend donc du numérateur $$3x + 7$$. 7. Résolution de $$3x + 7 = 0$$ : $$x = -\frac{7}{3}$$. 8. Tableau de signes : - Pour $$x < -\frac{7}{3}$$, $$3x + 7 < 0$$ donc $$f'(x) < 0$$, la fonction est décroissante. - Pour $$x > -\frac{7}{3}$$, $$3x + 7 > 0$$ donc $$f'(x) > 0$$, la fonction est croissante. 9. Conclusion : La fonction $$f$$ est décroissante sur $$\left[-\frac{7}{2}, -\frac{7}{3}\right]$$ et croissante sur $$\left[-\frac{7}{3}, +\infty\right[$$.