1. Énonçons le problème : Trouver les variations de la fonction $f(x) = 3x \times \sqrt{2x + 7}$.\n\n2. Rappelons la formule de la dérivée d'un produit : si $f(x) = u(x)v(x)$, alors $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$.\n\n3. Posons $u(x) = 3x$ et $v(x) = \sqrt{2x + 7} = (2x + 7)^{1/2}$. Calculons $u'(x)$ et $v'(x)$ :\n\n$u'(x) = 3$.\n\nPour $v'(x)$, utilisons la dérivée d'une puissance : $v'(x) = \frac{1}{2}(2x + 7)^{-1/2} \times 2 = \frac{1}{\sqrt{2x + 7}}$.\n\n4. Appliquons la formule du produit :\n\n$$f'(x) = 3 \times \sqrt{2x + 7} + 3x \times \frac{1}{\sqrt{2x + 7}} = \frac{3(2x + 7)}{\sqrt{2x + 7}} + \frac{3x}{\sqrt{2x + 7}}.$$\n\n5. Mettons au même dénominateur :\n\n$$f'(x) = \frac{3(2x + 7) + 3x}{\sqrt{2x + 7}} = \frac{6x + 21 + 3x}{\sqrt{2x + 7}} = \frac{9x + 21}{\sqrt{2x + 7}}.$$\n\n6. Simplifions en mettant en facteur :\n\n$$f'(x) = \frac{3(3x + 7)}{\sqrt{2x + 7}}.$$\n\n7. Étudions le signe de $f'(x)$ pour déterminer les variations de $f$. Le dénominateur $\sqrt{2x + 7}$ est toujours positif pour $x \geq -\frac{7}{2}$. Donc, le signe de $f'(x)$ dépend du numérateur $3(3x + 7)$.\n\n8. Résolvons $3x + 7 = 0$ :\n\n$$3x = -7 \Rightarrow x = -\frac{7}{3}.$$\n\n9. Tableau de signes :\n- Pour $x < -\frac{7}{3}$, $3x + 7 < 0$ donc $f'(x) < 0$ (fonction décroissante).\n- Pour $x > -\frac{7}{3}$, $3x + 7 > 0$ donc $f'(x) > 0$ (fonction croissante).\n\n10. Conclusion : La fonction $f$ est décroissante sur $\left[-\frac{7}{2}, -\frac{7}{3}\right]$ et croissante sur $\left[-\frac{7}{3}, +\infty\right)$.\n\n