1. **Énoncé du problème :** Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $I=[1;2]$ par $f(x)=\frac{5x-1}{x+3}$, montrer que $f(I) \subset I$, et étudier la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=f(u_n)$. 2. **Étude des variations de $f$ :** La dérivée de $f$ est donnée par la règle du quotient : $$f'(x) = \frac{(5)(x+3) - (5x-1)(1)}{(x+3)^2} = \frac{5x + 15 - 5x + 1}{(x+3)^2} = \frac{16}{(x+3)^2}.$$ 3. **Interprétation de la dérivée :** Comme $(x+3)^2 > 0$ pour tout $x \in [1;2]$, on a $f'(x) > 0$ sur $I$. Donc $f$ est strictement croissante sur $I$. 4. **Calcul des bornes de $f(I)$ :** Calculons $f(1)$ et $f(2)$ : $$f(1) = \frac{5\times1 -1}{1+3} = \frac{4}{4} = 1,$$ $$f(2) = \frac{5\times2 -1}{2+3} = \frac{9}{5} = 1.8.$$ Donc $f(I) = [1;1.8] \subset [1;2] = I$. 5. **Montrer que $1 \leq u_n \leq 2$ pour tout $n$ :** - Initialisation : $u_0=2$ donc $u_0 \in I$. - Supposons $u_n \in I$, alors $u_{n+1} = f(u_n) \in f(I) \subset I$. Par récurrence, $\forall n, u_n \in I$, donc $1 \leq u_n \leq 2$. 6. **Montrer que $(u_n)$ est décroissante :** Pour $x,y \in I$ avec $x < y$, $f(x) < f(y)$ car $f$ est croissante. Calculons $u_1 = f(u_0) = f(2) = 1.8 < 2 = u_0$, donc $u_1 < u_0$. Supposons $u_n \leq u_{n-1}$, alors $$u_{n+1} = f(u_n) \leq f(u_{n-1}) = u_n,$$ car $f$ est croissante et $u_n \leq u_{n-1}$. Donc $(u_n)$ est décroissante. 7. **Convergence et limite de $(u_n)$ :** La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par 1, donc elle converge vers une limite $\ell \in [1;2]$. En passant à la limite dans la relation de récurrence : $$\ell = f(\ell) = \frac{5\ell -1}{\ell + 3}.$$ Résolvons pour $\ell$ : $$\ell(\ell + 3) = 5\ell -1,$$ $$\ell^2 + 3\ell = 5\ell -1,$$ $$\ell^2 + 3\ell - 5\ell + 1 = 0,$$ $$\ell^2 - 2\ell + 1 = 0,$$ $$(\ell - 1)^2 = 0,$$ Donc $\ell = 1$. --- **Résumé :** - $f$ est strictement croissante sur $[1;2]$. - $f([1;2]) \subset [1;2]$. - La suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ est dans $[1;2]$ pour tout $n$. - $(u_n)$ est décroissante. - $(u_n)$ converge vers $1$.