1. **Problemstellung:** Gegeben sind die Geraden $$g : \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ und $$h : \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Diese beschreiben die Flugbahnen zweier Flugzeuge. Gesucht sind: - Die Geschwindigkeit der Flugzeuge in km/h. - Der Zeitpunkt, an dem sie sich am nächsten kommen. - Der minimale Abstand der Flugzeuge. 2. **Geschwindigkeit berechnen:** Die Richtungsvektoren geben die Bewegung pro Minute an. Für $g$ ist der Richtungsvektor $\vec{v}_g = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Die Geschwindigkeit ist die Länge dieses Vektors pro Minute: $$|\vec{v}_g| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$$ In km/min. Umgerechnet in km/h: $$v_g = \sqrt{3} \times 60 = 60\sqrt{3} \approx 103.92$$ Für $h$ ist der Richtungsvektor $\vec{v}_h = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$. $$|\vec{v}_h| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{2}$$ In km/h: $$v_h = \sqrt{2} \times 60 = 60\sqrt{2} \approx 84.85$$ 3. **Zeitpunkt minimaler Abstand:** Der Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden ist minimal, wenn der Verbindungsvektor zwischen den Punkte auf $g$ und $h$ orthogonal zu beiden Richtungsvektoren ist. Sei $\vec{p}_g(t) = \begin{pmatrix} 1 + t \\ 2 - t \\ t \end{pmatrix}$ und $\vec{p}_h(s) = \begin{pmatrix} 6 - s \\ 5 - s \\ 7 \end{pmatrix}$. Der Verbindungsvektor: $$\vec{d}(t,s) = \vec{p}_g(t) - \vec{p}_h(s) = \begin{pmatrix} 1 + t - (6 - s) \\ 2 - t - (5 - s) \\ t - 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t + s - 5 \\ -t + s - 3 \\ t - 7 \end{pmatrix}$$ Die Orthogonalitätsbedingungen: $$\vec{d}(t,s) \cdot \vec{v}_g = 0$$ $$\vec{d}(t,s) \cdot \vec{v}_h = 0$$ Berechnen: 1) $$ (t + s - 5, -t + s - 3, t - 7) \cdot (1, -1, 1) = 0 $$ $$ (t + s - 5) \cdot 1 + (-t + s - 3)(-1) + (t - 7) \cdot 1 = 0 $$ $$ t + s - 5 + t - s + 3 + t - 7 = 0 $$ $$ 3t - 9 = 0 $$ $$ 3t = 9 \Rightarrow t = 3 $$ 2) $$ (t + s - 5, -t + s - 3, t - 7) \cdot (-1, -1, 0) = 0 $$ $$ (t + s - 5)(-1) + (-t + s - 3)(-1) + (t - 7) \cdot 0 = 0 $$ $$ -t - s + 5 + t - s + 3 = 0 $$ $$ -2s + 8 = 0 $$ $$ 2s = 8 \Rightarrow s = 4 $$ 4. **Minimaler Abstand:** Setze $t=3$ und $s=4$ in $\vec{d}(t,s)$ ein: $$\vec{d}(3,4) = \begin{pmatrix} 3 + 4 - 5 \\ -3 + 4 - 3 \\ 3 - 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}$$ Länge des Vektors: $$d_{min} = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \approx 4.90$$ **Antwort:** - Geschwindigkeit Flugzeug $g$: $60\sqrt{3} \approx 103.92$ km/h - Geschwindigkeit Flugzeug $h$: $60\sqrt{2} \approx 84.85$ km/h - Zeitpunkt minimaler Abstand: $t=3$ Minuten (für $g$), $s=4$ Minuten (für $h$) - Minimaler Abstand: $2\sqrt{6} \approx 4.90$ km