1. **Problemstellung:** Gegeben ist eine Kugel auf einem Billardtisch an der Position $P(6|4)$, die in Richtung des Vektors $\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ gestoßen wird. Es soll entschieden werden, ob die Kugel ins Loch bei $L(14|0)$ läuft. 2. **Formel und Vorgehen:** Die Bewegung der Kugel kann als Gerade beschrieben werden, die bei $P$ startet und in Richtung des Vektors $\vec{v} = \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ verläuft. Die Geradengleichung lautet: $$\vec{r}(t) = \vec{P} + t \vec{v} = \begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 + 2t\\4 + 3t\end{pmatrix}$$ 3. **Prüfung, ob $L(14|0)$ auf der Geraden liegt:** Wir setzen die Koordinaten von $L$ in die Geradengleichung ein und lösen nach $t$: Für $x$-Koordinate: $$14 = 6 + 2t \implies 2t = 14 - 6 = 8 \implies t = 4$$ Für $y$-Koordinate: $$0 = 4 + 3t \implies 3t = -4 \implies t = -\frac{4}{3}$$ 4. **Ergebnis:** Die Werte für $t$ stimmen nicht überein ($4 \neq -\frac{4}{3}$), daher liegt der Punkt $L(14|0)$ nicht auf der Geraden, auf der sich die Kugel bewegt. 5. **Fazit:** Die Kugel läuft nicht direkt ins Loch $L(14|0)$, wenn sie in Richtung des Vektors $\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ gestoßen wird. 6. **Zusätzliche zeichnerische Lösung:** Die Gerade kann im Koordinatensystem eingezeichnet werden, um die Position von $L$ relativ zur Bahn der Kugel zu veranschaulichen. **Endergebnis:** Die Kugel läuft nicht ins Loch $L(14|0)$.