1. **Problemstellung:** Gegeben sind die Ebenen $$E_1: \vec{x} = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}-4 \\ 1 \\ 3\end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}4 \\ 2 \\ -3\end{pmatrix}$$ und $$E_2: x - 2y + z = 4.$$ Zeigen Sie, dass sich die Ebenen schneiden, bestimmen Sie die Schnittgerade und den Schnittwinkel. 2. **Formeln und Regeln:** - Schnitt zweier Ebenen: Lösen des Gleichungssystems aus Parametergleichung von $E_1$ und Koordinatengleichung von $E_2$. - Schnittwinkel $\varphi$ zwischen Ebenen mit Normalenvektoren $\vec{n}_1$ und $\vec{n}_2$: $$\cos(\varphi) = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{||\vec{n}_1|| \cdot ||\vec{n}_2||}$$ 3. **Schnittgerade bestimmen:** - Normalenvektor von $E_2$ ist $\vec{n}_2 = (1, -2, 1)$. - Richtungsvektoren von $E_1$ sind $\vec{r} = (-4,1,3)$ und $\vec{s} = (4,2,-3)$. - Normalenvektor von $E_1$ ist $\vec{n}_1 = \vec{r} \times \vec{s}$: $$\vec{n}_1 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -4 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & -3 \end{vmatrix} = (1 \cdot (-3) - 3 \cdot 2, -( -4 \cdot (-3) - 3 \cdot 4), -4 \cdot 2 - 1 \cdot 4) = (-3 - 6, -(12 - 12), -8 - 4) = (-9, 0, -12).$$ 4. **Vereinfachung von $\vec{n}_1$:** $$\vec{n}_1 = (-9, 0, -12) = -3 \cdot (3, 0, 4)$$ 5. **Schnittpunkt finden:** Setze $\vec{x} = \begin{pmatrix}1 -4r + 4s \\ 1 + r + 2s \\ 2 + 3r - 3s\end{pmatrix}$ in $E_2$ ein: $$x - 2y + z = 4$$ $$\Rightarrow (1 - 4r + 4s) - 2(1 + r + 2s) + (2 + 3r - 3s) = 4$$ $$1 - 4r + 4s - 2 - 2r - 4s + 2 + 3r - 3s = 4$$ $$ (1 - 2 + 2) + (-4r - 2r + 3r) + (4s - 4s - 3s) = 4$$ $$1 + (-3r) + (-3s) = 4$$ $$-3r - 3s = 3$$ $$r + s = -1$$ 6. **Schnittgerade parametrisieren:** Setze $s = t$, dann $r = -1 - t$. Schnittgerade: $$\vec{x} = \begin{pmatrix}1 -4(-1 - t) + 4t \\ 1 + (-1 - t) + 2t \\ 2 + 3(-1 - t) - 3t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 + 4 + 4t + 4t \\ 1 - 1 - t + 2t \\ 2 - 3 - 3t - 3t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 + 8t \\ 0 + t \\ -1 - 6t\end{pmatrix}$$ 7. **Schnittwinkel berechnen:** Normale von $E_1$ ist $\vec{n}_1 = (3, 0, 4)$ (betragsmäßig, da Vorzeichen egal), von $E_2$ ist $\vec{n}_2 = (1, -2, 1)$. Skalarprodukt: $$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 3 \cdot 1 + 0 \cdot (-2) + 4 \cdot 1 = 3 + 0 + 4 = 7$$ Normen: $$||\vec{n}_1|| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ $$||\vec{n}_2|| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$$ Cosinus des Winkels: $$\cos(\varphi) = \frac{|7|}{5 \sqrt{6}} = \frac{7}{5 \sqrt{6}}$$ Winkel: $$\varphi = \arccos\left(\frac{7}{5 \sqrt{6}}\right) \approx 25,24^\circ$$ --- 8. **Abstand des Punktes $P(6|3|7)$ von $E_1$:** - Ebenengleichung $E_1$ in Normalform: $$\vec{n}_1 \cdot (\vec{x} - \vec{a}) = 0$$ mit $\vec{a} = (1,1,2)$ und $\vec{n}_1 = (3,0,4)$. Abstand: $$d = \frac{|\vec{n}_1 \cdot (\vec{p} - \vec{a})|}{||\vec{n}_1||}$$ $$= \frac{|(3,0,4) \cdot (6-1, 3-1, 7-2)|}{5} = \frac{|3 \cdot 5 + 0 \cdot 2 + 4 \cdot 5|}{5} = \frac{|15 + 0 + 20|}{5} = \frac{35}{5} = 7$$ --- 9. **Koordinatengleichung der zu $E_1$ parallelen Ebene durch $P$:** - Parallele Ebene hat gleichen Normalenvektor $\vec{n}_1 = (3,0,4)$. - Gleichung: $$3(x - 6) + 0(y - 3) + 4(z - 7) = 0$$ $$3x - 18 + 4z - 28 = 0$$ $$3x + 4z = 46$$