1. **Problemstellung:** Gegeben sind zwei Flugzeuge F₁ und F₂ mit Startpunkten und Geschwindigkeiten. Gesucht sind die Bewegungsgleichungen, Schnittpunkt und Schnittwinkel der Flugbahnen, sowie weitere Geschwindigkeitsvektoren. 2. **Bewegungsgleichungen:** Für F₁ gilt Startpunkt $A=(8,5,3)$ und Geschwindigkeit $\vec{v}_1=\begin{pmatrix}-7\\1\\2\end{pmatrix}$ km/min. Die Bewegungsgleichung ist $$\vec{r}_1(t) = \begin{pmatrix}8\\5\\3\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-7\\1\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8-7t\\5+t\\3+2t\end{pmatrix}$$ mit $t$ in Minuten. Für F₂ ist Startpunkt $P=(-2.5,6.5,2)$ und nach 1 Minute $Q=(4.5,5.5,4)$. Geschwindigkeit von F₂: $$\vec{v}_2 = \frac{\vec{Q} - \vec{P}}{1} = \begin{pmatrix}4.5+2.5\\5.5-6.5\\4-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7\\-1\\2\end{pmatrix}$$ Bewegungsgleichung F₂: $$\vec{r}_2(s) = \begin{pmatrix}-2.5\\6.5\\2\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}7\\-1\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2.5+7s\\6.5 - s\\2 + 2s\end{pmatrix}$$ mit $s$ in Minuten. 3. **Geschwindigkeit F₁ in km/h:** $$|\vec{v}_1| = \sqrt{(-7)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{49 + 1 + 4} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7.348\ \text{km/min}$$ Umrechnung in km/h: $$7.348 \times 60 = 440.88\ \text{km/h}$$ 4. **Schnittpunkt der Flugbahnen:** Setze $$\vec{r}_1(t) = \vec{r}_2(s)$$ Komponentenweise: $$8 - 7t = -2.5 + 7s$$ $$5 + t = 6.5 - s$$ $$3 + 2t = 2 + 2s$$ Aus der zweiten Gleichung: $$t + s = 1.5$$ Aus der dritten Gleichung: $$3 + 2t = 2 + 2s \Rightarrow 1 + 2t = 2s \Rightarrow s = \frac{1}{2} + t$$ Setze $s$ in $t + s = 1.5$ ein: $$t + \frac{1}{2} + t = 1.5 \Rightarrow 2t = 1 \Rightarrow t = 0.5$$ Dann: $$s = \frac{1}{2} + 0.5 = 1$$ Prüfe erste Gleichung: $$8 - 7(0.5) = 8 - 3.5 = 4.5$$ $$-2.5 + 7(1) = -2.5 + 7 = 4.5$$ Stimmt, also schneiden sich die Flugbahnen im Punkt $$\vec{r}_1(0.5) = \begin{pmatrix}8 - 3.5\\5 + 0.5\\3 + 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4.5\\5.5\\4\end{pmatrix}$$ 5. **Schnittwinkel:** Formel für Winkel $\theta$ zwischen Vektoren: $$\cos(\theta) = \frac{\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2}{|\vec{v}_1||\vec{v}_2|}$$ Skalarprodukt: $$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = (-7)(7) + (1)(-1) + (2)(2) = -49 -1 +4 = -46$$ Beträge: $$|\vec{v}_1| = \sqrt{54}$$ $$|\vec{v}_2| = \sqrt{7^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{49 + 1 + 4} = \sqrt{54}$$ Also: $$\cos(\theta) = \frac{-46}{54} = -\frac{23}{27} \approx -0.8519$$ Winkel: $$\theta = \arccos(-0.8519) \approx 148.1^\circ$$ Der Schnittwinkel ist der kleinere Winkel zwischen den Flugbahnen: $$180^\circ - 148.1^\circ = 31.9^\circ$$ 6. **Begründung keine Kollision:** Obwohl sich die Flugbahnen schneiden, befinden sich die Flugzeuge zum Schnittzeitpunkt nicht gleichzeitig am Schnittpunkt (F₁ bei $t=0.5$, F₂ bei $s=1$). Da $t$ und $s$ unterschiedlich sind, kollidieren sie nicht. 7. **F₁ bewegt sich von Süden nach Norden:** Die $y$-Komponente von $\vec{v}_1$ ist positiv (1), also bewegt sich F₁ nach Norden. 8. **Möglicher Geschwindigkeitsvektor F₃ (west-östlich):** Richtung entlang $x$-Achse, also $\vec{v}_3 = \begin{pmatrix}v_x\\0\\0\end{pmatrix}$. Geschwindigkeit zwischen 700 km/h und 900 km/h. Umrechnung in km/min: $$700/60 \approx 11.67, \quad 900/60 = 15$$ Also: $$\vec{v}_3 = \begin{pmatrix}v_x\\0\\0\end{pmatrix} \quad \text{mit} \quad 11.67 \leq |v_x| \leq 15$$ 9. **F₄ schneidet Flugbahnen von F₁ und F₂ senkrecht:** $\vec{v}_4$ muss orthogonal zu $\vec{v}_1$ und $\vec{v}_2$ sein. Berechne Kreuzprodukt: $$\vec{v}_4 = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -7 & 1 & 2 \\ 7 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 2 - 2 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(-7 \cdot 2 - 2 \cdot 7) + \mathbf{k}(-7 \cdot (-1) - 1 \cdot 7)$$ $$= \mathbf{i}(2 + 2) - \mathbf{j}(-14 -14) + \mathbf{k}(7 -7) = \begin{pmatrix}4\\28\\0\end{pmatrix}$$ Ein möglicher Geschwindigkeitsvektor von F₄ ist $$\vec{v}_4 = \begin{pmatrix}4\\28\\0\end{pmatrix}$$ (Richtung beliebig skaliert).