1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Gerade $$g_c: \vec{x} = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}1 \\ c \\ 1\end{pmatrix}$$ mit $$t \in \mathbb{R}$$ und die Kugel $$K$$ mit Mittelpunkt $$M = \begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$$ und Radius $$r = \sqrt{2}$$. Gesucht ist, für welche Werte von $$c$$ die Gerade $$g_c$$ keinen, einen oder zwei Schnittpunkte mit der Kugel hat, und die Koordinaten des Berührungspunktes $$B$$ im Fall eines Tangentenpunktes. 2. **Formel und wichtige Regeln:** Die Kugelgleichung lautet: $$ \|\vec{x} - \vec{M}\|^2 = r^2 $$ Die Gerade ist parametrisiert als: $$ \vec{x}(t) = \vec{p} + t \vec{d} = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}1 \\ c \\ 1\end{pmatrix} $$ Ein Schnittpunkt liegt vor, wenn es ein $$t$$ gibt, so dass $$\|\vec{x}(t) - \vec{M}\|^2 = r^2$$. 3. **Aufstellen der Gleichung:** $$ \|\vec{x}(t) - \vec{M}\|^2 = \left\| \begin{pmatrix}1 + t - 2 \\ ct - 0 \\ t - 0\end{pmatrix} \right\|^2 = (t - 1)^2 + (ct)^2 + t^2 = 2 $$ 4. **Ausmultiplizieren und Gleichung in $$t$$:** $$ (t - 1)^2 + c^2 t^2 + t^2 = 2 $$ $$ (t^2 - 2t + 1) + c^2 t^2 + t^2 = 2 $$ $$ (1 + c^2 + 1) t^2 - 2t + 1 = 2 $$ $$ (2 + c^2) t^2 - 2t + 1 - 2 = 0 $$ $$ (2 + c^2) t^2 - 2t - 1 = 0 $$ 5. **Diskriminante berechnen:** $$ \Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 (2 + c^2)(-1) = 4 + 4(2 + c^2) = 4 + 8 + 4 c^2 = 12 + 4 c^2 $$ 6. **Interpretation der Diskriminante:** - Für keinen Schnittpunkt: $$\Delta < 0$$ - Für einen Schnittpunkt (Tangente): $$\Delta = 0$$ - Für zwei Schnittpunkte: $$\Delta > 0$$ Da $$12 + 4 c^2 \geq 12 > 0$$ für alle $$c \in \mathbb{R}$$, ist $$\Delta$$ immer positiv. **Folgerung:** Die Gerade hat für alle $$c$$ zwei Schnittpunkte mit der Kugel, es gibt keinen Wert von $$c$$ mit genau einem oder keinem Schnittpunkt. 7. **Berührungspunkt bei Tangente (theoretisch):** Da $$\Delta > 0$$ für alle $$c$$, gibt es keinen Berührungspunkt. **Zusammenfassung:** - Kein $$c$$ mit keinem Schnittpunkt. - Kein $$c$$ mit genau einem Schnittpunkt. - Für alle $$c$$ zwei Schnittpunkte. **Ende.**