1. Stellen Sie die Gleichung der Geraden g durch die Punkte A und B auf.
Formel: Die Geradengleichung in Parameterform lautet $$\vec{x} = \vec{A} + t(\vec{B} - \vec{A})$$ wobei $$t \in \mathbb{R}$$.
Wichtig: Der Richtungsvektor ist $$\vec{B} - \vec{A}$$.
**a)** A(−3|2|1), B(7|−2|1)
1. Berechne den Richtungsvektor:
$$\vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix}7 - (-3) \\ -2 - 2 \\ 1 - 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10 \\ -4 \\ 0\end{pmatrix}$$
2. Geradengleichung:
$$\vec{x} = \begin{pmatrix}-3 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}10 \\ -4 \\ 0\end{pmatrix}$$
**b)** A(0|0|3), B(−2|1|5)
1. Richtungsvektor:
$$\vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix}-2 - 0 \\ 1 - 0 \\ 5 - 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$$
2. Geradengleichung:
$$\vec{x} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}-2 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$$
**c)** A(5|0|0), B(0|4|1)
1. Richtungsvektor:
$$\vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix}0 - 5 \\ 4 - 0 \\ 1 - 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5 \\ 4 \\ 1\end{pmatrix}$$
2. Geradengleichung:
$$\vec{x} = \begin{pmatrix}5 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}-5 \\ 4 \\ 1\end{pmatrix}$$
2. Gegeben sind die Punkte A(1|2|0) und B(7|2|0).
1. Richtungsvektor:
$$\vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix}7 - 1 \\ 2 - 2 \\ 0 - 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$$
2. Geradengleichung:
$$\vec{x} = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}6 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$$
3. Lage im Koordinatensystem: Die Gerade verläuft parallel zur x-Achse in der Ebene y=2, z=0.
4. Ein Punkt zwischen A und B erhält man für $$t=0.5$$:
$$\vec{x} = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix} + 0.5 \begin{pmatrix}6 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 + 3 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix}$$
5. Gleichung der Ursprungsgeraden durch A:
Die Ursprungsgerade durch A ist:
$$\vec{x} = t \vec{A} = t \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix}$$
3. Gegeben sind Punkte A(1|6|−5), B(7|9|1), C(−16|−8|−2) und die Gerade $$g: \vec{x} = \begin{pmatrix}-1 \\ 5 \\ -7\end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$$
1. Prüfe, ob A auf g liegt:
Setze $$\vec{x} = \vec{A}$$:
$$\begin{pmatrix}1 \\ 6 \\ -5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 5 \\ -7\end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$$
Löse für s:
$$1 = -1 + 2s \Rightarrow 2s = 2 \Rightarrow s=1$$
$$6 = 5 + s \Rightarrow s=1$$
$$-5 = -7 + 2s \Rightarrow 2s = 2 \Rightarrow s=1$$
Alle drei Gleichungen stimmen für $$s=1$$, also liegt A auf g.
2. Prüfe B:
$$7 = -1 + 2s \Rightarrow 2s = 8 \Rightarrow s=4$$
$$9 = 5 + s \Rightarrow s=4$$
$$1 = -7 + 2s \Rightarrow 2s = 8 \Rightarrow s=4$$
Alle stimmen für $$s=4$$, also liegt B auf g.
3. Prüfe C:
$$-16 = -1 + 2s \Rightarrow 2s = -15 \Rightarrow s = -7.5$$
$$-8 = 5 + s \Rightarrow s = -13$$
$$-2 = -7 + 2s \Rightarrow 2s = 5 \Rightarrow s=2.5$$
Die Werte für s stimmen nicht überein, also liegt C nicht auf g.
4. Gerade h durch den Ursprung parallel zur Geraden durch A und C:
Richtungsvektor von A nach C:
$$\vec{C} - \vec{A} = \begin{pmatrix}-16 - 1 \\ -8 - 6 \\ -2 - (-5)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-17 \\ -14 \\ 3\end{pmatrix}$$
Gleichung von h:
$$\vec{x} = t \begin{pmatrix}-17 \\ -14 \\ 3\end{pmatrix}$$
Geradengleichungen F3D00B
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