1. **Problemstellung:** Untersuchen Sie die Lagebeziehung der Geraden durch die Punkte $P(2|1|3)$ und $Q(7|1|5)$ zur Ebene $E$ mit den gegebenen Parametergleichungen. 2. **Formel und Vorgehen:** Die Gerade $g$ hat den Richtungsvektor $\vec{u} = \overrightarrow{PQ} = Q - P = (7-2, 1-1, 5-3) = (5,0,2)$ und die Geradengleichung: $$\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u} = (2,1,3) + t \cdot (5,0,2)$$ Die Ebene $E$ ist gegeben durch: $$\vec{x} = \vec{q} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w}$$ Um die Lagebeziehung zu bestimmen, setzt man die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein und löst das Gleichungssystem nach $t, r, s$. 3. **Teil a)** $$E: \vec{x} = (1,2,-2) + r \cdot (1,2,3) + s \cdot (1,0,1)$$ Setze $\vec{x}$ der Geraden ein: $$ (2 + 5t, 1, 3 + 2t) = (1 + r + s, 2r, -2 + 3r + s) $$ Dies ergibt das Gleichungssystem: $$\begin{cases} 2 + 5t = 1 + r + s \\ 1 = 2r \\ 3 + 2t = -2 + 3r + s \end{cases}$$ Aus der zweiten Gleichung: $r = \frac{1}{2}$. Setze $r$ in die erste und dritte Gleichung ein: $$2 + 5t = 1 + \frac{1}{2} + s = 1.5 + s$$ $$3 + 2t = -2 + 3 \cdot \frac{1}{2} + s = -2 + 1.5 + s = -0.5 + s$$ Um $s$ zu eliminieren, subtrahiere erste von dritter Gleichung: $$(3 + 2t) - (2 + 5t) = (-0.5 + s) - (1.5 + s)$$ $$1 - 3t = -2$$ $$-3t = -3$$ $$t = 1$$ Setze $t=1$ in erste Gleichung: $$2 + 5 \cdot 1 = 1.5 + s \Rightarrow 7 = 1.5 + s \Rightarrow s = 5.5$$ **Lösung:** Es gibt genau eine Lösung für $t, r, s$, also schneidet $g$ die Ebene $E$. Berechne den Durchstoßpunkt: $$\vec{x} = (2,1,3) + 1 \cdot (5,0,2) = (7,1,5)$$ 4. **Teil b)** $$E: \vec{x} = r \cdot (1,0,0) + s \cdot (0,1,0)$$ Setze Geradengleichung ein: $$(2 + 5t, 1, 3 + 2t) = (r, s, 0)$$ Dies ergibt: $$\begin{cases} 2 + 5t = r \\ 1 = s \\ 3 + 2t = 0 \end{cases}$$ Aus der dritten Gleichung: $$3 + 2t = 0 \Rightarrow t = -\frac{3}{2}$$ Setze $t$ in erste Gleichung: $$2 + 5 \cdot (-\frac{3}{2}) = 2 - 7.5 = -5.5 = r$$ Setze $s=1$. **Lösung:** Es gibt genau eine Lösung, also schneidet $g$ die Ebene $E$. Durchstoßpunkt: $$\vec{x} = (2,1,3) + (-\frac{3}{2}) \cdot (5,0,2) = (2 - 7.5, 1, 3 - 3) = (-5.5, 1, 0)$$ 5. **Teil c)** $$E: \vec{x} = (-3,-2,0) + r \cdot (0,1,0) + s \cdot (5,1,2)$$ Setze Geradengleichung ein: $$(2 + 5t, 1, 3 + 2t) = (-3, -2, 0) + r \cdot (0,1,0) + s \cdot (5,1,2)$$ Dies ergibt: $$\begin{cases} 2 + 5t = -3 + 5s \\ 1 = -2 + r + s \\ 3 + 2t = 0 + 0 + 2s \end{cases}$$ Aus zweiter Gleichung: $$1 = -2 + r + s \Rightarrow r = 3 - s$$ Aus dritter Gleichung: $$3 + 2t = 2s \Rightarrow 2s = 3 + 2t \Rightarrow s = \frac{3 + 2t}{2}$$ Setze $s$ in erste Gleichung: $$2 + 5t = -3 + 5 \cdot \frac{3 + 2t}{2} = -3 + \frac{15 + 10t}{2} = -3 + 7.5 + 5t = 4.5 + 5t$$ Subtrahiere $5t$ von beiden Seiten: $$2 + 5t - 5t = 4.5 + 5t - 5t \Rightarrow 2 = 4.5$$ Dies ist ein Widerspruch, also keine Lösung. **Lösung:** Die Gerade ist echt parallel zur Ebene. 6. **Teil d)** $$E: \vec{x} = (0,-8,-17) + r \cdot (2,0,5) + s \cdot (1,3,4)$$ Setze Geradengleichung ein: $$(2 + 5t, 1, 3 + 2t) = (0, -8, -17) + r \cdot (2,0,5) + s \cdot (1,3,4)$$ Dies ergibt: $$\begin{cases} 2 + 5t = 2r + s \\ 1 = -8 + 3s \\ 3 + 2t = -17 + 5r + 4s \end{cases}$$ Aus zweiter Gleichung: $$1 = -8 + 3s \Rightarrow 3s = 9 \Rightarrow s = 3$$ Setze $s=3$ in erste Gleichung: $$2 + 5t = 2r + 3$$ Setze $s=3$ in dritte Gleichung: $$3 + 2t = -17 + 5r + 12 = -5 + 5r$$ Forme erste Gleichung um: $$2r = 2 + 5t - 3 = -1 + 5t \Rightarrow r = \frac{-1 + 5t}{2}$$ Setze $r$ in dritte Gleichung: $$3 + 2t = -5 + 5 \cdot \frac{-1 + 5t}{2} = -5 + \frac{5(-1 + 5t)}{2} = -5 + \frac{-5 + 25t}{2} = -5 + \frac{-5}{2} + \frac{25t}{2} = -\frac{15}{2} + \frac{25t}{2}$$ Multipliziere beide Seiten mit 2: $$2(3 + 2t) = 2 \left(-\frac{15}{2} + \frac{25t}{2}\right)$$ $$6 + 4t = -15 + 25t$$ Subtrahiere $4t$ und addiere $15$ zu beiden Seiten: $$6 + 15 = 25t - 4t$$ $$21 = 21t$$ $$t = 1$$ Berechne $r$: $$r = \frac{-1 + 5 \cdot 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ **Lösung:** Es gibt genau eine Lösung, also schneidet $g$ die Ebene $E$. Durchstoßpunkt: $$\vec{x} = (2,1,3) + 1 \cdot (5,0,2) = (7,1,5)$$ --- **Zusammenfassung:** - a) $g$ schneidet $E$ in $(7,1,5)$ - b) $g$ schneidet $E$ in $(-5.5,1,0)$ - c) $g$ ist echt parallel zu $E$ - d) $g$ schneidet $E$ in $(7,1,5)$