1. Das Problem: Wir sollen die Normalform einer Geraden in der xy-Ebene aufstellen und erklären, wie man sie Schritt für Schritt bestimmt. 2. Definition: Die Normalform einer Geraden lautet $$x\cos\alpha + y\sin\alpha = r$$, wobei $$r$$ der Abstand der Geraden vom Ursprung ist und $$\alpha$$ der Winkel zwischen der Normalen der Geraden und der x-Achse. 3. Wichtige Regeln: - $$r \geq 0$$ - $$\alpha$$ wird meist im Intervall $$[0, 2\pi)$$ angegeben 4. Schritt-für-Schritt-Anleitung: 1. Gegeben ist eine Gerade in der Koordinatenform $$Ax + By + C = 0$$. 2. Berechne den Abstand $$r$$ der Geraden vom Ursprung mit der Formel $$r = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$. 3. Bestimme den Winkel $$\alpha$$ der Normalen zur x-Achse mit $$\cos\alpha = \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$ und $$\sin\alpha = \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$. 4. Setze $$r$$ und $$\alpha$$ in die Normalform ein: $$x\cos\alpha + y\sin\alpha = r$$. 5. Beispiel: Gegeben die Gerade $$3x + 4y - 12 = 0$$. - Berechne $$r = \frac{| -12 |}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{12}{5} = 2.4$$. - Berechne $$\cos\alpha = \frac{3}{5} = 0.6$$ und $$\sin\alpha = \frac{4}{5} = 0.8$$. - Die Normalform lautet somit $$0.6x + 0.8y = 2.4$$. Diese Form ist besonders nützlich, um den Abstand der Geraden zum Ursprung und die Richtung der Normalen direkt abzulesen.