1. **Problemstellung:** Zeigen Sie, dass das Viereck ABCD mit den Punkten A (1|4|2), B (3|2|4), C (9|5|1) und D (7|7|-1) ein Rechteck ist. 2. **Wichtige Regeln:** Ein Viereck ist ein Rechteck, wenn alle Innenwinkel 90° sind. Das bedeutet, dass benachbarte Seiten orthogonal zueinander sein müssen. Zwei Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) ist. 3. **Vektoren der Seiten berechnen:** - \(\vec{AB} = B - A = (3-1, 2-4, 4-2) = (2, -2, 2)\) - \(\vec{BC} = C - B = (9-3, 5-2, 1-4) = (6, 3, -3)\) - \(\vec{CD} = D - C = (7-9, 7-5, -1-1) = (-2, 2, -2)\) - \(\vec{DA} = A - D = (1-7, 4-7, 2+1) = (-6, -3, 3)\) 4. **Orthogonalität prüfen:** - \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 2 \cdot 6 + (-2) \cdot 3 + 2 \cdot (-3) = 12 - 6 - 6 = 0\) \(\Rightarrow\) \(\vec{AB}\) und \(\vec{BC}\) sind orthogonal. - \(\vec{BC} \cdot \vec{CD} = 6 \cdot (-2) + 3 \cdot 2 + (-3) \cdot (-2) = -12 + 6 + 6 = 0\) \(\Rightarrow\) \(\vec{BC}\) und \(\vec{CD}\) sind orthogonal. - \(\vec{CD} \cdot \vec{DA} = (-2) \cdot (-6) + 2 \cdot (-3) + (-2) \cdot 3 = 12 - 6 - 6 = 0\) \(\Rightarrow\) \(\vec{CD}\) und \(\vec{DA}\) sind orthogonal. - \(\vec{DA} \cdot \vec{AB} = (-6) \cdot 2 + (-3) \cdot (-2) + 3 \cdot 2 = -12 + 6 + 6 = 0\) \(\Rightarrow\) \(\vec{DA}\) und \(\vec{AB}\) sind orthogonal. 5. **Längen der Seiten überprüfen:** - \(|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) - \(|\vec{BC}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9 + 9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}\) - \(|\vec{CD}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) - \(|\vec{DA}| = \sqrt{(-6)^2 + (-3)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9 + 9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}\) 6. **Fazit:** Da alle benachbarten Seiten orthogonal sind, ist das Viereck ABCD ein Rechteck. Die gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang, was die Rechteck-Eigenschaft bestätigt. **Endergebnis:** Das Viereck ABCD ist ein Rechteck.