1. **Problemstellung:** Berechnen Sie den Abstand des Punktes P von der Geraden g mit dem Lotfußpunktverfahren für die Fälle: c) Gerade g durch A(1|1|0) und B(1|3|2); Punkt P(2|1|4) d) Gerade g durch A(6|2|1) und B(2|1|11); Punkt P(1|1|14) 2. **Formel und Vorgehen:** Der Abstand eines Punktes P von einer Geraden g ist die Länge des Vektors vom Punkt P zum Lotfußpunkt F auf der Geraden. - Die Gerade g wird durch zwei Punkte A und B definiert. - Richtungsvektor der Geraden: $\vec{u} = \overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A}$ - Vektor vom Punkt A zum Punkt P: $\vec{AP} = \vec{P} - \vec{A}$ - Der Lotfußpunkt F auf g ist der Punkt, an dem der Vektor $\overrightarrow{PF}$ senkrecht auf g steht. - Parameter $t$ für F auf g: $$t = \frac{\vec{AP} \cdot \vec{u}}{\vec{u} \cdot \vec{u}}$$ - Koordinaten von F: $$\vec{F} = \vec{A} + t \cdot \vec{u}$$ - Abstand: $$d = |\vec{P} - \vec{F}|$$ 3. **Aufgabe c:** - $\vec{A} = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$, $\vec{B} = \begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix}$, $\vec{P} = \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 4\end{pmatrix}$ - Richtungsvektor: $$\vec{u} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix}1-1 \\ 3-1 \\ 2-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 2\end{pmatrix}$$ - Vektor $\vec{AP}$: $$\vec{AP} = \vec{P} - \vec{A} = \begin{pmatrix}2-1 \\ 1-1 \\ 4-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 4\end{pmatrix}$$ - Skalarprodukt $\vec{AP} \cdot \vec{u}$: $$1 \cdot 0 + 0 \cdot 2 + 4 \cdot 2 = 8$$ - Skalarprodukt $\vec{u} \cdot \vec{u}$: $$0^2 + 2^2 + 2^2 = 8$$ - Parameter $t$: $$t = \frac{8}{8} = 1$$ - Lotfußpunkt $\vec{F}$: $$\vec{F} = \vec{A} + t \cdot \vec{u} = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix}$$ - Abstand $d$: $$d = |\vec{P} - \vec{F}| = \sqrt{(2-1)^2 + (1-3)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$$ 4. **Aufgabe d:** - $\vec{A} = \begin{pmatrix}6 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}$, $\vec{B} = \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 11\end{pmatrix}$, $\vec{P} = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 14\end{pmatrix}$ - Richtungsvektor: $$\vec{u} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix}2-6 \\ 1-2 \\ 11-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 \\ -1 \\ 10\end{pmatrix}$$ - Vektor $\vec{AP}$: $$\vec{AP} = \vec{P} - \vec{A} = \begin{pmatrix}1-6 \\ 1-2 \\ 14-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5 \\ -1 \\ 13\end{pmatrix}$$ - Skalarprodukt $\vec{AP} \cdot \vec{u}$: $$(-5)(-4) + (-1)(-1) + 13 \cdot 10 = 20 + 1 + 130 = 151$$ - Skalarprodukt $\vec{u} \cdot \vec{u}$: $$(-4)^2 + (-1)^2 + 10^2 = 16 + 1 + 100 = 117$$ - Parameter $t$: $$t = \frac{151}{117}$$ - Lotfußpunkt $\vec{F}$: $$\vec{F} = \vec{A} + t \cdot \vec{u} = \begin{pmatrix}6 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix} + \frac{151}{117} \cdot \begin{pmatrix}-4 \\ -1 \\ 10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 - \frac{604}{117} \\ 2 - \frac{151}{117} \\ 1 + \frac{1510}{117}\end{pmatrix}$$ - Abstand $d$: $$d = \left| \vec{P} - \vec{F} \right| = \sqrt{\left(1 - \left(6 - \frac{604}{117}\right)\right)^2 + \left(1 - \left(2 - \frac{151}{117}\right)\right)^2 + \left(14 - \left(1 + \frac{1510}{117}\right)\right)^2}$$ - Vereinfachung der Differenzen: $$1 - 6 + \frac{604}{117} = -5 + \frac{604}{117} = \frac{-585 + 604}{117} = \frac{19}{117}$$ $$1 - 2 + \frac{151}{117} = -1 + \frac{151}{117} = \frac{-117 + 151}{117} = \frac{34}{117}$$ $$14 - 1 - \frac{1510}{117} = 13 - \frac{1510}{117} = \frac{1521 - 1510}{117} = \frac{11}{117}$$ - Abstand: $$d = \sqrt{\left(\frac{19}{117}\right)^2 + \left(\frac{34}{117}\right)^2 + \left(\frac{11}{117}\right)^2} = \frac{1}{117} \sqrt{19^2 + 34^2 + 11^2} = \frac{1}{117} \sqrt{361 + 1156 + 121} = \frac{1}{117} \sqrt{1638}$$ $$\sqrt{1638} \approx 40.48$$ $$d \approx \frac{40.48}{117} \approx 0.346$$ **Endergebnis:** - c) Abstand $d = 3$ - d) Abstand $d \approx 0.346$