1. **Problemstellung:** Gegeben sind drei Geraden $g_1: y=5x+8$, $g_2: y=0{,}5x-1$ und $g_3: y=-x+8$. Die Schnittpunkte $A = g_1 \cap g_2$, $B = g_2 \cap g_3$ und $C = g_1 \cap g_3$ bilden das Dreieck $ABC$. Gesucht sind die Koordinaten der Eckpunkte, der Flächeninhalt des Dreiecks und der Mittelpunkt $M$ des Umkreises. 2. **Schnittpunkte berechnen:** - Für $A = g_1 \cap g_2$ setzen wir $5x+8 = 0{,}5x -1$: $$5x + 8 = 0{,}5x - 1$$ $$5x - 0{,}5x = -1 - 8$$ $$4{,}5x = -9$$ $$x = \frac{-9}{4{,}5} = -2$$ Setze $x=-2$ in $g_1$ ein: $$y = 5(-2) + 8 = -10 + 8 = -2$$ Also $A(-2|-2)$. - Für $B = g_2 \cap g_3$ setzen wir $0{,}5x -1 = -x + 8$: $$0{,}5x -1 = -x + 8$$ $$0{,}5x + x = 8 + 1$$ $$1{,}5x = 9$$ $$x = \frac{9}{1{,}5} = 6$$ Setze $x=6$ in $g_2$ ein: $$y = 0{,}5(6) - 1 = 3 - 1 = 2$$ Also $B(6|2)$. - Für $C = g_1 \cap g_3$ setzen wir $5x + 8 = -x + 8$: $$5x + 8 = -x + 8$$ $$5x + x = 8 - 8$$ $$6x = 0$$ $$x = 0$$ Setze $x=0$ in $g_1$ ein: $$y = 5(0) + 8 = 8$$ Also $C(0|8)$. 3. **Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ berechnen:** Formel für Flächeninhalt mit Koordinaten: $$A = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$$ Setze ein: $$= \frac{1}{2} |-2(2 - 8) + 6(8 - (-2)) + 0(-2 - 2)|$$ $$= \frac{1}{2} |-2(-6) + 6(10) + 0|$$ $$= \frac{1}{2} |12 + 60| = \frac{1}{2} \times 72 = 36$$ 4. **Umkreismittelpunkt $M$ berechnen:** Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zweier Seiten. - Mittelsenkrechte von $AB$: Mittelpunkt $M_{AB} = \left(\frac{-2+6}{2}, \frac{-2+2}{2}\right) = (2, 0)$ Steigung von $AB$: $$m_{AB} = \frac{2 - (-2)}{6 - (-2)} = \frac{4}{8} = 0{,}5$$ Steigung der Mittelsenkrechten ist der negative Kehrwert: $$m_{MS,AB} = -\frac{1}{0{,}5} = -2$$ Gleichung Mittelsenkrechte $AB$: $$y - 0 = -2(x - 2) \Rightarrow y = -2x + 4$$ - Mittelsenkrechte von $AC$: Mittelpunkt $M_{AC} = \left(\frac{-2+0}{2}, \frac{-2+8}{2}\right) = (-1, 3)$ Steigung von $AC$: $$m_{AC} = \frac{8 - (-2)}{0 - (-2)} = \frac{10}{2} = 5$$ Steigung der Mittelsenkrechten: $$m_{MS,AC} = -\frac{1}{5} = -0{,}2$$ Gleichung Mittelsenkrechte $AC$: $$y - 3 = -0{,}2(x + 1) \Rightarrow y = -0{,}2x + 2{,}8$$ - Schnittpunkt $M$ der Mittelsenkrechten: Setze gleich: $$-2x + 4 = -0{,}2x + 2{,}8$$ $$-2x + 4 + 0{,}2x - 2{,}8 = 0$$ $$-1{,}8x + 1{,}2 = 0$$ $$-1{,}8x = -1{,}2$$ $$x = \frac{-1{,}2}{-1{,}8} = \frac{2}{3}$$ Setze $x=\frac{2}{3}$ in $y = -2x + 4$ ein: $$y = -2 \times \frac{2}{3} + 4 = -\frac{4}{3} + 4 = \frac{8}{3}$$ Also Umkreismittelpunkt $M\left(\frac{2}{3} \middle| \frac{8}{3}\right)$. **Endergebnis:** - $A(-2|-2)$, $B(6|2)$, $C(0|8)$ - Flächeninhalt $= 36$ - Umkreismittelpunkt $M\left(\frac{2}{3} \middle| \frac{8}{3}\right)$