1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Ebene $E: 4x_1 + 4x_2 - 7x_3 = 40{,}5$ und eine Gerade $g$, die orthogonal zu $E$ ist und durch den Ursprung verläuft. 2. **Teil a) Gleichung der Geraden $g$ und Schnittpunkt $F$ mit $E$:** - Die Gerade $g$ ist orthogonal zur Ebene $E$, daher ist ihr Richtungsvektor parallel zum Normalenvektor der Ebene. - Der Normalenvektor der Ebene $E$ ist $\vec{n} = (4,4,-7)$. - Die Gerade $g$ durch den Ursprung mit Richtungsvektor $\vec{n}$ hat die Parametergleichung: $$g: \vec{x} = t \begin{pmatrix}4 \\ 4 \\ -7\end{pmatrix}$$ - Um den Schnittpunkt $F$ zu finden, setzen wir den Geradenpunkt in die Ebenengleichung ein: $$4(4t) + 4(4t) - 7(-7t) = 40{,}5$$ $$16t + 16t + 49t = 40{,}5$$ $$81t = 40{,}5$$ $$t = \frac{40{,}5}{81} = 0{,}5$$ - Damit ist der Schnittpunkt: $$F = \begin{pmatrix}4 \\ 4 \\ -7\end{pmatrix} \cdot 0{,}5 = \begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ -3{,}5\end{pmatrix}$$ 3. **Teil b) Punkte auf $g$ mit Abstand 3 LE von $E$:** - Der Abstand eines Punktes $P$ auf $g$ von der Ebene $E$ ist: $$d = \frac{|4x_1 + 4x_2 - 7x_3 - 40{,}5|}{\sqrt{4^2 + 4^2 + (-7)^2}} = 3$$ - Ein Punkt auf $g$ hat die Koordinaten: $$P(t) = (4t, 4t, -7t)$$ - Einsetzen in die Abstandsgleichung: $$d = \frac{|4(4t) + 4(4t) - 7(-7t) - 40{,}5|}{\sqrt{16 + 16 + 49}} = 3$$ $$\Rightarrow \frac{|16t + 16t + 49t - 40{,}5|}{\sqrt{81}} = 3$$ $$\Rightarrow \frac{|81t - 40{,}5|}{9} = 3$$ $$\Rightarrow |81t - 40{,}5| = 27$$ - Fall 1: $$81t - 40{,}5 = 27$$ $$81t = 67{,}5$$ $$t = \frac{67{,}5}{81} = \frac{5}{6} = 0{,}8333$$ - Fall 2: $$81t - 40{,}5 = -27$$ $$81t = 13{,}5$$ $$t = \frac{13{,}5}{81} = \frac{1}{6} = 0{,}1667$$ - Die Punkte sind: $$P_1 = \begin{pmatrix}4 \cdot \frac{5}{6} \\ 4 \cdot \frac{5}{6} \\ -7 \cdot \frac{5}{6}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{20}{6} \\ \frac{20}{6} \\ -\frac{35}{6}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3{,}333 \\ 3{,}333 \\ -5{,}833\end{pmatrix}$$ $$P_2 = \begin{pmatrix}4 \cdot \frac{1}{6} \\ 4 \cdot \frac{1}{6} \\ -7 \cdot \frac{1}{6}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{4}{6} \\ \frac{4}{6} \\ -\frac{7}{6}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0{,}6667 \\ 0{,}6667 \\ -1{,}1667\end{pmatrix}$$