1. **Problem 8a:** Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h in Fig. 2 und bestimmen Sie gegebenenfalls die Koordinaten des Schnittpunktes. Die Punkte E und F sind Kantenmitten. 2. **Formeln und Regeln:** - Geraden in Parameterform: $$\vec{x} = \vec{p} + t \vec{d}$$ mit Stützvektor $\vec{p}$ und Richtungsvektor $\vec{d}$. - Zwei Geraden schneiden sich, wenn es Parameterwerte $t, s$ gibt, so dass $$\vec{p}_g + t \vec{d}_g = \vec{p}_h + s \vec{d}_h$$. - Man löst das Gleichungssystem für $t$ und $s$. 3. **Gegebene Punkte:** - E und F sind Kantenmitten, also Mittelpunkte von Kanten des Quaders. - Die Geraden g und h sind in Fig. 2 eingezeichnet (Details aus Aufgabenstellung oder Bild notwendig). 4. **Lösung 8a:** - Setze die Parameterformen der Geraden g und h ein. - Beispiel: $g: \vec{x} = \vec{p}_g + t \vec{d}_g$, $h: \vec{x} = \vec{p}_h + s \vec{d}_h$. - Gleichsetzen: $$\vec{p}_g + t \vec{d}_g = \vec{p}_h + s \vec{d}_h$$. - Daraus entsteht ein lineares Gleichungssystem in $t$ und $s$. - Löse das System, um Schnittpunktkoordinaten zu finden. 5. **Problem 8b:** Berechnen Sie den Flächeninhalt des blau eingezeichneten Dreiecks. 6. **Formel für Flächeninhalt Dreieck:** - Flächeninhalt $$A = \frac{1}{2} \| \vec{u} \times \vec{v} \|$$, wobei $\vec{u}$ und $\vec{v}$ zwei Seitenvektoren des Dreiecks sind. 7. **Lösung 8b:** - Bestimme die Koordinaten der drei Eckpunkte des Dreiecks (z.B. A, E, F). - Berechne die Vektoren $\vec{u} = \overrightarrow{AE}$ und $\vec{v} = \overrightarrow{AF}$. - Berechne das Kreuzprodukt $\vec{u} \times \vec{v}$. - Berechne die Norm des Kreuzprodukts und teile durch 2. 8. **Problem 9a:** Überprüfen Sie, ob sich die beiden Leuchtkugeln treffen könnten. 9. **Gegebene Punkte und Richtungen:** - Kugel 1 startet bei $P(4,0,0)$ und fliegt in Richtung $Q(0,0,3)$. - Kugel 2 startet bei $R(0,3,0)$ und fliegt in Richtung $T(0,0,7)$. 10. **Parameterformen der Flugbahnen:** - Kugel 1: $$\vec{x}_1 = (4,0,0) + t \cdot (-4,0,3)$$ - Kugel 2: $$\vec{x}_2 = (0,3,0) + s \cdot (0,-3,7)$$ 11. **Schnittprüfung:** - Setze $\vec{x}_1 = \vec{x}_2$ und löse das Gleichungssystem für $t, s$. - Wenn es eine Lösung gibt, treffen sich die Kugeln. 12. **Problem 9b:** Berechnen Sie, wie weit beide Leuchtkugeln am Startpunkt von einem Flugzeug entfernt sind, das sich am Punkt $(3,4,9)$ befindet. 13. **Abstand Berechnung:** - Abstand zwischen zwei Punkten $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist $$d = \| \vec{a} - \vec{b} \| = \sqrt{(a_x - b_x)^2 + (a_y - b_y)^2 + (a_z - b_z)^2}$$. - Berechne Abstand Flugzeug zu Startpunkt P. - Berechne Abstand Flugzeug zu Startpunkt R. 14. **Endergebnis:** - Schnittpunktkoordinaten der Geraden g und h (8a). - Flächeninhalt des Dreiecks (8b). - Ergebnis, ob sich Kugeln treffen (9a). - Abstände der Startpunkte zu Flugzeug (9b).