1. **Problemstellung:** Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geradenpaare g und h, h und k, g und l, l und k im dreidimensionalen Raum. 2. **Grundlagen:** Die Lage zweier Geraden im Raum kann sein: parallel und identisch, parallel und verschieden, sich schneidend, oder windschief. 3. **Formeln und Vorgehen:** Eine Gerade ist gegeben durch $$\vec{x} = \vec{p} + r \vec{v}$$ mit Stützvektor $$\vec{p}$$ und Richtungsvektor $$\vec{v}$$. - Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind: $$\vec{v}_1 = \lambda \vec{v}_2$$. - Sind sie parallel, prüft man, ob sie identisch sind, indem man überprüft, ob der Verbindungsvektor zweier Punkte auf den Geraden ebenfalls parallel zu $$\vec{v}$$ ist. - Schneiden sich die Geraden, existieren Parameter $$r,s$$, so dass $$\vec{p}_1 + r \vec{v}_1 = \vec{p}_2 + s \vec{v}_2$$. - Sind sie weder parallel noch schneidend, sind sie windschief. 4. **Berechnung für a) g und h:** $$\vec{g}: \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -3\end{pmatrix}, \quad \vec{h}: \begin{pmatrix}-1 \\ -2 \\ 2\end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ -5\end{pmatrix}$$ - Richtungsvektoren: $$\vec{v}_g = \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -3\end{pmatrix}, \quad \vec{v}_h = \begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ -5\end{pmatrix}$$ - Prüfen auf Parallelität: $$\vec{v}_h \neq \lambda \vec{v}_g$$ für ein $$\lambda$$, da $$\frac{2}{2} = 1$$, aber $$\frac{2}{1} = 2$$ ungleich. - Also nicht parallel. - Prüfen auf Schnittpunkt: Setze $$\vec{g} = \vec{h}$$: $$\begin{cases}1 + 2r = -1 + 2s \\ -2 + r = -2 + 2s \\ 1 - 3r = 2 - 5s\end{cases}$$ - Aus zweiter Gleichung: $$-2 + r = -2 + 2s \Rightarrow r = 2s$$ - Erste Gleichung: $$1 + 2r = -1 + 2s \Rightarrow 1 + 2(2s) = -1 + 2s \Rightarrow 1 + 4s = -1 + 2s$$ $$\Rightarrow 4s - 2s = -1 -1 \Rightarrow 2s = -2 \Rightarrow s = -1$$ - Dann $$r = 2(-1) = -2$$ - Dritte Gleichung: $$1 - 3r = 2 - 5s \Rightarrow 1 - 3(-2) = 2 - 5(-1) \Rightarrow 1 + 6 = 2 + 5 \Rightarrow 7 = 7$$ - Alle Gleichungen erfüllt, also schneiden sich g und h im Punkt: $$\vec{x} = \vec{g}(-2) = \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix} + (-2) \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 - 4 \\ -2 - 2 \\ 1 + 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ -4 \\ 7\end{pmatrix}$$ 5. **Berechnung für b) h und k:** $$\vec{h}: \begin{pmatrix}-1 \\ -2 \\ 2\end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ -5\end{pmatrix}, \quad \vec{k}: \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix} + u \begin{pmatrix}-2 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix}$$ - Richtungsvektoren: $$\vec{v}_h = \begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ -5\end{pmatrix}, \quad \vec{v}_k = \begin{pmatrix}-2 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix}$$ - Prüfen auf Parallelität: Kein $$\lambda$$ mit $$2 = -2\lambda$$ und $$2 = -1\lambda$$ gleichzeitig. - Prüfen auf Schnittpunkt: $$\begin{cases}-1 + 2s = 0 - 2u \\ -2 + 2s = 0 - u \\ 2 - 5s = -1 + 3u\end{cases}$$ - Erste Gleichung: $$-1 + 2s = -2u$$ - Zweite Gleichung: $$-2 + 2s = -u$$ - Dritte Gleichung: $$2 - 5s = -1 + 3u$$ - Aus zweiter Gleichung: $$-2 + 2s = -u \Rightarrow u = 2 - 2s$$ - Erste Gleichung: $$-1 + 2s = -2u = -2(2 - 2s) = -4 + 4s$$ $$-1 + 2s = -4 + 4s \Rightarrow -1 + 2s + 4 = 4s \Rightarrow 3 + 2s = 4s \Rightarrow 3 = 2s \Rightarrow s = \frac{3}{2}$$ - Dann $$u = 2 - 2 \cdot \frac{3}{2} = 2 - 3 = -1$$ - Dritte Gleichung: $$2 - 5 \cdot \frac{3}{2} = -1 + 3(-1) \Rightarrow 2 - \frac{15}{2} = -1 - 3 \Rightarrow 2 - 7.5 = -4 \Rightarrow -5.5 = -4$$ - Falsch, also kein Schnittpunkt. - Da nicht parallel und kein Schnittpunkt, sind h und k windschief. 6. **Berechnung für c) g und l:** $$\vec{g}: \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -3\end{pmatrix}, \quad \vec{l}: \begin{pmatrix}9 \\ 2 \\ -11\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}4 \\ 2 \\ -6\end{pmatrix}$$ - Richtungsvektoren: $$\vec{v}_g = \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -3\end{pmatrix}, \quad \vec{v}_l = \begin{pmatrix}4 \\ 2 \\ -6\end{pmatrix}$$ - Prüfen auf Parallelität: $$\vec{v}_l = 2 \vec{v}_g$$, also parallel. - Prüfen, ob identisch: Verbindungsvektor $$\vec{p}_l - \vec{p}_g = \begin{pmatrix}9 - 1 \\ 2 - (-2) \\ -11 - 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8 \\ 4 \\ -12\end{pmatrix}$$ - Prüfen, ob $$\vec{p}_l - \vec{p}_g$$ parallel zu $$\vec{v}_g$$: $$\begin{pmatrix}8 \\ 4 \\ -12\end{pmatrix} = \mu \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -3\end{pmatrix}$$ - Für $$\mu = 4$$ stimmt jede Komponente. - Also sind g und l parallel und identisch. 7. **Berechnung für d) l und k:** $$\vec{l}: \begin{pmatrix}9 \\ 2 \\ -11\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}4 \\ 2 \\ -6\end{pmatrix}, \quad \vec{k}: \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix} + u \begin{pmatrix}-2 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix}$$ - Richtungsvektoren: $$\vec{v}_l = \begin{pmatrix}4 \\ 2 \\ -6\end{pmatrix}, \quad \vec{v}_k = \begin{pmatrix}-2 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix}$$ - Prüfen auf Parallelität: Kein $$\lambda$$ mit $$4 = -2\lambda$$ und $$2 = -1\lambda$$ gleichzeitig. - Prüfen auf Schnittpunkt: $$\begin{cases}9 + 4t = 0 - 2u \\ 2 + 2t = 0 - u \\ -11 - 6t = -1 + 3u\end{cases}$$ - Zweite Gleichung: $$2 + 2t = -u \Rightarrow u = -2 - 2t$$ - Erste Gleichung: $$9 + 4t = -2u = -2(-2 - 2t) = 4 + 4t$$ $$9 + 4t = 4 + 4t \Rightarrow 9 = 4$$ - Falsch, also kein Schnittpunkt. - Da nicht parallel und kein Schnittpunkt, sind l und k windschief. 8. **Zusammenfassung:** - a) g und h schneiden sich. - b) h und k sind windschief. - c) g und l sind parallel und identisch. - d) l und k sind windschief. 9. **Plan zur Bestimmung der gegenseitigen Lage zweier Geraden:** 1. Prüfen, ob Richtungsvektoren linear abhängig sind (Parallelität). 2. Falls parallel, prüfen, ob Verbindungsvektor parallel zu Richtungsvektor ist (Identität). 3. Falls nicht parallel, Gleichungssystem für Schnittpunkt lösen. 4. Falls kein Schnittpunkt, sind die Geraden windschief.