1. Problem: Untersuchen Sie, ob der Punkt P auf der Geraden durch die Punkte A und B liegt. Gegeben sind die Punkte: A (1|4|3), B (3|2|4), P (7|-2|6) 2. Formel: Eine Gerade durch zwei Punkte A und B kann parametrisch dargestellt werden als: $$\vec{r}(t) = \vec{A} + t(\vec{B} - \vec{A})$$ 3. Berechnung des Richtungsvektors der Geraden: $$\vec{B} - \vec{A} = (3-1, 2-4, 4-3) = (2, -2, 1)$$ 4. Prüfen, ob P auf der Geraden liegt, bedeutet, es muss ein Parameter $t$ existieren, so dass: $$\vec{P} = \vec{A} + t(\vec{B} - \vec{A})$$ Das heißt: $$ (7, -2, 6) = (1, 4, 3) + t(2, -2, 1) $$ 5. Aufteilen in Komponenten: $$7 = 1 + 2t$$ $$-2 = 4 - 2t$$ $$6 = 3 + t$$ 6. Lösen der Gleichungen: Aus der ersten: $$7 = 1 + 2t \Rightarrow 2t = 6 \Rightarrow t = 3$$ Aus der zweiten: $$-2 = 4 - 2t \Rightarrow -2 - 4 = -2t \Rightarrow -6 = -2t \Rightarrow t = 3$$ Aus der dritten: $$6 = 3 + t \Rightarrow t = 3$$ 7. Da alle drei Komponenten denselben Wert $t=3$ ergeben, liegt P auf der Geraden durch A und B. **Antwort:** Ja, P liegt auf der Geraden durch A und B.