1. **Problem:** Untersuchen Sie, ob der Punkt P auf der Geraden durch die Punkte A und B liegt. 2. **Formel:** Eine Gerade durch Punkte A und B kann parametrisch dargestellt werden als $$\vec{r}(t) = \vec{A} + t(\vec{B} - \vec{A})$$ wobei $$t$$ ein Parameter ist. 3. **Wichtig:** Ein Punkt P liegt auf der Geraden, wenn es ein $$t$$ gibt, so dass $$\vec{P} = \vec{A} + t(\vec{B} - \vec{A})$$ gilt. 4. **Berechnung für a):** $$\vec{A} = \begin{pmatrix}1 \\ 4 \\ 3\end{pmatrix}, \quad \vec{B} = \begin{pmatrix}3 \\ 2 \\ 4\end{pmatrix}, \quad \vec{P} = \begin{pmatrix}7 \\ -2 \\ 6\end{pmatrix}$$ Richtungsvektor: $$\vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix}3-1 \\ 2-4 \\ 4-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix}$$ Setze $$\vec{P} = \vec{A} + t(\vec{B} - \vec{A})$$: $$\begin{pmatrix}7 \\ -2 \\ 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 4 \\ 3\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix}$$ Dies ergibt das Gleichungssystem: $$7 = 1 + 2t$$ $$-2 = 4 - 2t$$ $$6 = 3 + t$$ 5. **Löse jede Gleichung nach $$t$$ auf:** $$7 = 1 + 2t \Rightarrow 2t = 6 \Rightarrow t = 3$$ $$-2 = 4 - 2t \Rightarrow -2t = -6 \Rightarrow t = 3$$ $$6 = 3 + t \Rightarrow t = 3$$ Alle drei Werte für $$t$$ stimmen überein, also liegt P auf der Geraden. 6. **Berechnung für b):** $$\vec{A} = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, \quad \vec{B} = \begin{pmatrix}3 \\ 4 \\ 1\end{pmatrix}, \quad \vec{P} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$$ Richtungsvektor: $$\vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix}3-1 \\ 4-1 \\ 1-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 3 \\ 0\end{pmatrix}$$ Setze $$\vec{P} = \vec{A} + t(\vec{B} - \vec{A})$$: $$\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}2 \\ 3 \\ 0\end{pmatrix}$$ Gleichungssystem: $$0 = 1 + 2t$$ $$0 = 1 + 3t$$ $$0 = 1 + 0 \cdot t = 1$$ 7. **Löse die ersten beiden Gleichungen:** $$0 = 1 + 2t \Rightarrow 2t = -1 \Rightarrow t = -\frac{1}{2}$$ $$0 = 1 + 3t \Rightarrow 3t = -1 \Rightarrow t = -\frac{1}{3}$$ Die Werte für $$t$$ stimmen nicht überein, und die dritte Gleichung ist falsch (0 ≠ 1), also liegt P nicht auf der Geraden. **Endergebnis:** - a) P liegt auf der Geraden durch A und B. - b) P liegt nicht auf der Geraden durch A und B.