1. **Problemstellung:** Gegeben sind die Punkte A(4|2|-1), B(-2|1|0) und C(b|b|4). Wir sollen a) erklären, warum Ariane mit der Formel $\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ den Innenwinkel bei A nicht korrekt berechnet. b) beurteilen, ob Bruces Ansatz für $b=2$ mit $\cos(\alpha) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{CA}}{|\vec{BA}||\vec{CA}|}$ richtig ist. c) untersuchen, ob es ein $b$ gibt, sodass die Geraden $g$ durch A und B und $h$ durch B und C orthogonal schneiden. --- 2. **Wichtige Formel:** Der Winkel $\alpha$ zwischen zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ berechnet sich mit $$\cos(\alpha) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$$ Dabei müssen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ vom gleichen Punkt ausgehen, um den Winkel an diesem Punkt zu bestimmen. --- 3. **Teil a) Warum ist Arianes Rechnung falsch?** Ariane verwendet $\vec{a}$ und $\vec{b}$, aber es ist unklar, was diese Vektoren sind. Für den Innenwinkel bei A müssen die Vektoren vom Punkt A zu den anderen Punkten gebildet werden, also $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$. Wenn Ariane stattdessen z.B. die Ortsvektoren der Punkte nimmt, misst sie nicht den Winkel am Punkt A, sondern den Winkel zwischen zwei Vektoren, die nicht am selben Punkt starten. **Fazit:** Ariane muss die Vektoren $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}$ und $\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A}$ verwenden, um den Winkel bei A zu berechnen. --- 4. **Teil b) Bruces Ansatz für $b=2$:** Für $b=2$ ist $C(2|2|4)$. Berechnung der Vektoren: $$\vec{BA} = \vec{A} - \vec{B} = (4 - (-2), 2 - 1, -1 - 0) = (6, 1, -1)$$ $$\vec{CA} = \vec{A} - \vec{C} = (4 - 2, 2 - 2, -1 - 4) = (2, 0, -5)$$ Bruce verwendet $\vec{BA}$ und $\vec{CA}$, also Vektoren vom Punkt B zu A und C. Da der Winkel bei A berechnet werden soll, müssen die Vektoren vom Punkt A ausgehen, also $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$. Bruce berechnet den Winkel am Punkt B, nicht am Punkt A. **Fazit:** Bruces Ansatz ist korrekt, wenn der Winkel bei B gesucht wird, aber falsch für den Winkel bei A. --- 5. **Teil c) Orthogonalität der Geraden $g$ (durch A und B) und $h$ (durch B und C):** Geraden sind orthogonal, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal sind, also deren Skalarprodukt 0 ist. Richtungsvektor von $g$: $$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (-2 - 4, 1 - 2, 0 - (-1)) = (-6, -1, 1)$$ Richtungsvektor von $h$: $$\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (b - (-2), b - 1, 4 - 0) = (b + 2, b - 1, 4)$$ Orthogonalität bedeutet: $$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0$$ Berechnung: $$(-6)(b+2) + (-1)(b-1) + 1 \cdot 4 = 0$$ $$-6b - 12 - b + 1 + 4 = 0$$ $$-7b - 7 = 0$$ $$-7b = 7$$ $$b = -1$$ **Fazit:** Für $b = -1$ schneiden sich die Geraden $g$ und $h$ orthogonal. --- **Endergebnis:** - a) Ariane verwendet falsche Vektoren, da sie nicht vom Punkt A ausgehen. - b) Bruce berechnet den Winkel am Punkt B, nicht am Punkt A, daher ist sein Ansatz für den Winkel bei A falsch. - c) Die Geraden $g$ und $h$ sind orthogonal für $b = -1$.