1. Planteamos el problema: Tenemos un número de la forma $19ab$ que es múltiplo de 2 y 3, y al dividirlo entre 5 el residuo es 2. 2. Recordemos las reglas importantes: - Un número es múltiplo de 2 si su último dígito es par. - Un número es múltiplo de 3 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. - Al dividir un número entre 5, el residuo depende del último dígito: si el residuo es 2, el último dígito debe ser 2 o 7. 3. Definamos el número: $1, 9, a, b$ donde $a$ y $b$ son dígitos. 4. Por la condición de múltiplo de 2, $b$ debe ser par: $b \in \{0,2,4,6,8\}$. 5. Por la condición del residuo 2 al dividir entre 5, $b$ debe ser 2 o 7. Como $b$ debe ser par, entonces $b=2$. 6. Por la condición de múltiplo de 3, la suma de los dígitos debe ser múltiplo de 3: $$1 + 9 + a + b = 10 + a + 2 = 12 + a$$ 7. Buscamos $a$ dígito entre 0 y 9 tal que $12 + a$ sea múltiplo de 3. 8. Los múltiplos de 3 cercanos a 12 son 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30. 9. Probamos valores de $a$: - Si $a=0$, suma $=12$ múltiplo de 3. - Si $a=3$, suma $=15$ múltiplo de 3. - Si $a=6$, suma $=18$ múltiplo de 3. - Si $a=9$, suma $=21$ múltiplo de 3. 10. Para maximizar $a+b$, con $b=2$, el mayor $a$ posible es 9. 11. Entonces, el mayor valor de $a+b$ es: $$a + b = 9 + 2 = 11$$ Respuesta final: El mayor valor de $a+b$ es 11.