1. **Planteamiento del problema:** Se tienen números naturales $a$, $b$ y $n$ tales que: $$\text{MCD}\left(\frac{a}{n}, \frac{b}{n}\right) = 16, \quad \text{MCD}(an, bn) = 144, \quad a + b = 384, \quad a > b$$ Se pide calcular $a$, $b$ y $n$. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** - El MCD (máximo común divisor) de dos números es el mayor número que divide a ambos. - Para números naturales $x,y$ y un divisor común $d$, si $x = d x'$, $y = d y'$, entonces $\text{MCD}(x,y) = d \cdot \text{MCD}(x',y')$. - Si $\text{MCD}(x,y) = 1$, decimos que $x$ y $y$ son coprimos. 3. **Análisis del primer MCD:** $$\text{MCD}\left(\frac{a}{n}, \frac{b}{n}\right) = 16$$ Esto implica que $\frac{a}{n}$ y $\frac{b}{n}$ son múltiplos de 16 y su MCD es 16. Sea: $$\frac{a}{n} = 16x, \quad \frac{b}{n} = 16y$$ con $\text{MCD}(x,y) = 1$ porque 16 es el MCD común. 4. **Expresión de $a$ y $b$ en función de $n$, $x$, $y$:** $$a = 16 n x, \quad b = 16 n y$$ con $\text{MCD}(x,y) = 1$. 5. **Condición de la suma:** $$a + b = 16 n x + 16 n y = 16 n (x + y) = 384$$ De aquí: $$16 n (x + y) = 384 \implies n (x + y) = \frac{384}{16} = 24$$ 6. **Análisis del segundo MCD:** $$\text{MCD}(a n, b n) = 144$$ Sustituyendo $a$ y $b$: $$\text{MCD}(16 n x \cdot n, 16 n y \cdot n) = \text{MCD}(16 n^2 x, 16 n^2 y) = 144$$ Factor común: $$16 n^2 \cdot \text{MCD}(x,y) = 144$$ Pero $\text{MCD}(x,y) = 1$, entonces: $$16 n^2 = 144 \implies n^2 = \frac{144}{16} = 9 \implies n = 3$$ 7. **Sustituyendo $n=3$ en la ecuación de la suma:** $$3 (x + y) = 24 \implies x + y = 8$$ 8. **Recordando que $x$ y $y$ son coprimos y $x + y = 8$:** Buscamos pares naturales $(x,y)$ con $x + y = 8$, $\text{MCD}(x,y) = 1$ y $a > b \Rightarrow x > y$. Posibles pares: - $(7,1)$, MCD(7,1)=1 - $(5,3)$, MCD(5,3)=1 - $(3,5)$ no porque $x>y$ - $(1,7)$ no porque $x>y$ 9. **Probamos con $(x,y) = (7,1)$:** $$a = 16 \cdot 3 \cdot 7 = 336, \quad b = 16 \cdot 3 \cdot 1 = 48$$ Suma: $336 + 48 = 384$ correcto. 10. **Probamos con $(x,y) = (5,3)$:** $$a = 16 \cdot 3 \cdot 5 = 240, \quad b = 16 \cdot 3 \cdot 3 = 144$$ Suma: $240 + 144 = 384$ correcto. 11. **Verificación del MCD para $a n$ y $b n$ con cada par:** Para $(7,1)$: $$a n = 336 \cdot 3 = 1008, \quad b n = 48 \cdot 3 = 144$$ $$\text{MCD}(1008, 144) = 144$$ (correcto) Para $(5,3)$: $$a n = 240 \cdot 3 = 720, \quad b n = 144 \cdot 3 = 432$$ $$\text{MCD}(720, 432) = 144$$ (correcto) 12. **Condición $a > b$:** Ambos pares cumplen $a > b$. 13. **Conclusión:** Los valores posibles son: $$n = 3, \quad (a,b) = (336, 48) \quad \text{o} \quad (240, 144)$$