1. El problema consiste en medir cantidades específicas de agua usando dos cubos de diferentes capacidades. 2. Para resolverlo, usamos la combinación lineal de los volúmenes de los cubos: $$ax + by = c$$ donde $a$ y $b$ son las capacidades de los cubos, $x$ y $y$ son enteros (pueden ser positivos o negativos, representando llenar o vaciar), y $c$ es la cantidad deseada. 3. La solución existe si y solo si el máximo común divisor (mcd) de $a$ y $b$ divide a $c$. 4. Aplicamos esto a cada caso: - Para 3 litros con cubos de 4 y 7 litros: mcd(4,7) = 1, que divide a 3, por lo que es posible. Buscamos enteros $x,y$ tales que $$4x + 7y = 3$$. Una solución es $x = -4$, $y = 3$ porque $$4(-4) + 7(3) = -16 + 21 = 5$$ no es 3, probamos otra. Probando $x=5$, $y=-2$: $$4(5) + 7(-2) = 20 - 14 = 6$$ no. Probando $x=2$, $y=-1$: $$4(2) + 7(-1) = 8 - 7 = 1$$ no. Probando $x=5$, $y=-3$: $$4(5) + 7(-3) = 20 - 21 = -1$$ no. Probando $x=1$, $y=-1$: $$4(1) + 7(-1) = 4 - 7 = -3$$ sí, entonces multiplicamos por -1 para obtener 3. Por lo tanto, $x = -1$, $y = 1$ es solución: $$4(-1) + 7(1) = -4 + 7 = 3$$. - Para 11 litros con cubos de 8 y 3 litros: mcd(8,3) = 1, divide a 11. Buscamos $8x + 3y = 11$. Probando $x=1$, $y=1$: $$8 + 3 = 11$$ solución directa. - Para 3 litros con cubos de 9 y 4 litros: mcd(9,4) = 1, divide a 3. Buscamos $9x + 4y = 3$. Probando $x=1$, $y=-1$: $$9 - 4 = 5$$ no. Probando $x=-1$, $y=3$: $$-9 + 12 = 3$$ solución. - Para 13 litros con cubos de 9 y 5 litros: mcd(9,5) = 1, divide a 13. Buscamos $9x + 5y = 13$. Probando $x=2$, $y=-1$: $$18 - 5 = 13$$ solución. - Para 1 litro con cubos de 3 y 8 litros: mcd(3,8) = 1, divide a 1. Buscamos $3x + 8y = 1$. Probando $x=3$, $y=-1$: $$9 - 8 = 1$$ solución. 5. En resumen, las soluciones son: - 3 litros: $$4(-1) + 7(1) = 3$$ - 11 litros: $$8(1) + 3(1) = 11$$ - 3 litros: $$9(-1) + 4(3) = 3$$ - 13 litros: $$9(2) + 5(-1) = 13$$ - 1 litro: $$3(3) + 8(-1) = 1$$ Esto significa que llenando y vaciando los cubos según estos coeficientes se puede medir la cantidad deseada.