1. **Planteamiento del problema:** Analizaremos la continuidad de la función por partes: $$f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 + 4x^2 - 17x - 60}{x + 3}, & -5 < x < 4 \\\sqrt{x - 4}, & x \geq 4 \\\ln(-x - 5), & x < -5 \end{cases}$$ Debemos estudiar la continuidad en los puntos críticos $x = -5$ y $x = 4$. 2. **Cálculo de límites en puntos críticos:** - En $x = -5$: - Límite por la izquierda: $$\lim_{x \to -5^-} f(x) = \lim_{x \to -5^-} \ln(-x - 5) = \ln(-(-5) - 5) = \ln(5 - 5) = \ln(0) = -\infty$$ - Límite por la derecha: $$\lim_{x \to -5^+} f(x) = \lim_{x \to -5^+} \frac{x^3 + 4x^2 - 17x - 60}{x + 3}$$ Factorizamos el numerador para simplificar: $$x^3 + 4x^2 - 17x - 60$$ Probamos $x = -3$: $$(-3)^3 + 4(-3)^2 - 17(-3) - 60 = -27 + 36 + 51 - 60 = 0$$ Por lo tanto, $(x + 3)$ es factor. Dividimos: $$\frac{x^3 + 4x^2 - 17x - 60}{x + 3} = x^2 + x - 20$$ Evaluamos el límite: $$\lim_{x \to -5^+} (x^2 + x - 20) = (-5)^2 + (-5) - 20 = 25 - 5 - 20 = 0$$ - En $x = 4$: - Límite por la izquierda: $$\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^-} \frac{x^3 + 4x^2 - 17x - 60}{x + 3} = \lim_{x \to 4^-} (x^2 + x - 20) = 4^2 + 4 - 20 = 16 + 4 - 20 = 0$$ - Límite por la derecha: $$\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4^+} \sqrt{x - 4} = \sqrt{4 - 4} = 0$$ 3. **Continuidad en cada intervalo:** - Para $-5 < x < 4$, la función es racional simplificada a $x^2 + x - 20$, que es continua en ese intervalo. - Para $x \geq 4$, la función es $\sqrt{x - 4}$, continua para $x \geq 4$. - Para $x < -5$, la función es $\ln(-x - 5)$, continua para $x < -5$. 4. **Clasificación de discontinuidades:** - En $x = -5$: - Límite por la izquierda es $-\infty$ y por la derecha es $0$. - La función no está definida en $x = -5$. - Hay una discontinuidad infinita (tipo asíntota vertical). - En $x = 4$: - Límite por la izquierda y derecha son iguales a $0$. - Evaluamos $f(4)$: $$f(4) = \sqrt{4 - 4} = 0$$ - Por lo tanto, la función es continua en $x = 4$. 5. **Conclusión:** La función es continua en los intervalos $(-\infty, -5)$, $(-5, 4)$ y $[4, \infty)$. Presenta una discontinuidad infinita en $x = -5$ debido a que el límite por la izquierda tiende a $-\infty$ y por la derecha es finito. En $x = 4$ la función es continua.