1. Planteamos el problema: Calcular la derivada de la función $$h(x) = \frac{x+1}{x+2}$$ usando la definición de derivada $$h'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h(x+h) - h(x)}{h}$$. 2. Sustituimos $$x+h$$ en la función: $$h(x+h) = \frac{(x+h)+1}{(x+h)+2} = \frac{x+h+1}{x+h+2}$$. 3. Aplicamos la definición de derivada: $$h'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{x+h+1}{x+h+2} - \frac{x+1}{x+2}}{h}$$. 4. Restamos las fracciones en el numerador: $$= \lim_{h \to 0} \frac{(x+h+1)(x+2) - (x+1)(x+h+2)}{h (x+h+2)(x+2)}$$. 5. Expandimos los productos: $$(x+h+1)(x+2) = (x+1+h)(x+2) = (x+1)(x+2) + h(x+2)$$ $$(x+1)(x+h+2) = (x+1)(x+2) + h(x+1)$$ 6. Sustituimos y simplificamos el numerador: $$[(x+1)(x+2) + h(x+2)] - [(x+1)(x+2) + h(x+1)] = h(x+2) - h(x+1) = h[(x+2) - (x+1)] = h$$ 7. Por lo tanto, la expresión queda: $$h'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h (x+h+2)(x+2)}$$. 8. Simplificamos $$h$$ en numerador y denominador: $$= \lim_{h \to 0} \frac{\cancel{h}}{\cancel{h} (x+h+2)(x+2)} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{(x+h+2)(x+2)}$$. 9. Evaluamos el límite cuando $$h \to 0$$: $$h'(x) = \frac{1}{(x+2)^2}$$. \boxed{h'(x) = \frac{1}{(x+2)^2}}