1. Planteamos el problema: hallar la derivada de la función $$h(x) = \frac{x+1}{x+2}$$ usando la definición del límite. 2. Recordemos la definición de la derivada de una función en un punto $$x$$: $$ h'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h(x+h) - h(x)}{h} $$ 3. Calculamos $$h(x+h)$$: $$ h(x+h) = \frac{(x+h)+1}{(x+h)+2} = \frac{x+h+1}{x+h+2} $$ 4. Sustituimos en la definición: $$ h'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{x+h+1}{x+h+2} - \frac{x+1}{x+2}}{h} $$ 5. Para simplificar, restamos las fracciones en el numerador: $$ \frac{x+h+1}{x+h+2} - \frac{x+1}{x+2} = \frac{(x+h+1)(x+2) - (x+1)(x+h+2)}{(x+h+2)(x+2)} $$ 6. Expandimos los productos en el numerador: $$ (x+h+1)(x+2) = x^2 + 2x + hx + 2h + x + 2 = x^2 + 3x + hx + 2h + 2 $$ $$ (x+1)(x+h+2) = x^2 + hx + 2x + x + h + 2 = x^2 + 3x + hx + h + 2 $$ 7. Restamos los dos resultados: $$ (x^2 + 3x + hx + 2h + 2) - (x^2 + 3x + hx + h + 2) = 2h - h = h $$ 8. Por lo tanto, la diferencia de fracciones es: $$ \frac{h}{(x+h+2)(x+2)} $$ 9. Sustituimos en la expresión de la derivada: $$ h'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{h}{(x+h+2)(x+2)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h (x+h+2)(x+2)} $$ 10. Simplificamos cancelando $$h$$: $$ h'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cancel{h}}{\cancel{h} (x+h+2)(x+2)} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{(x+h+2)(x+2)} $$ 11. Evaluamos el límite cuando $$h \to 0$$: $$ h'(x) = \frac{1}{(x+2)^2} $$ 12. Por lo tanto, la derivada de $$h(x) = \frac{x+1}{x+2}$$ es: $$ h'(x) = \frac{1}{(x+2)^2} $$