1. El problema es calcular la derivada de la función $$f(x) = (3x+7)(x-1)^2$$ usando la regla del producto. 2. La regla del producto dice que si tenemos dos funciones $$u(x)$$ y $$v(x)$$, la derivada de su producto es: $$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$$ 3. Identificamos las funciones: $$u(x) = 3x+7$$ $$v(x) = (x-1)^2$$ 4. Calculamos las derivadas individuales: $$u'(x) = \frac{d}{dx}(3x+7) = 3$$ Para $$v(x)$$ usamos la regla de la cadena: $$v(x) = (x-1)^2$$ $$v'(x) = 2(x-1) \cdot \frac{d}{dx}(x-1) = 2(x-1) \cdot 1 = 2(x-1)$$ 5. Aplicamos la regla del producto: $$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 3(x-1)^2 + (3x+7)2(x-1)$$ 6. Expandimos y simplificamos: $$3(x-1)^2 = 3(x^2 - 2x + 1) = 3x^2 - 6x + 3$$ $$2(x-1)(3x+7) = 2(x-1)(3x+7)$$ Expandimos el segundo término: $$(x-1)(3x+7) = 3x^2 + 7x - 3x - 7 = 3x^2 + 4x - 7$$ Multiplicamos por 2: $$2(3x^2 + 4x - 7) = 6x^2 + 8x - 14$$ 7. Sumamos ambos términos: $$f'(x) = (3x^2 - 6x + 3) + (6x^2 + 8x - 14) = 9x^2 + 2x - 11$$ 8. Por lo tanto, la derivada de la función es: $$\boxed{f'(x) = 9x^2 + 2x - 11}$$