1. Problema: Derivar la función $f(x) = 7x - 5$. 2. Regla usada: La derivada de $ax$ es $a$ y la derivada de una constante es 0. 3. Derivada: $$f'(x) = 7 - 0 = 7$$ --- 1. Problema: Derivar $g(x) = 8 - 3x$. 2. Regla: Derivada de constante es 0, derivada de $-3x$ es $-3$. 3. Derivada: $$g'(x) = 0 - 3 = -3$$ --- 1. Problema: Derivar $g(x) = 1 - 2x - x^2$. 2. Regla: Derivada de constante 0, derivada de $-2x$ es $-2$, derivada de $-x^2$ es $-2x$. 3. Derivada: $$g'(x) = 0 - 2 - 2x = -2 - 2x$$ --- 1. Problema: Derivar $f(x) = 4x^2 + x + 1$. 2. Regla: Derivada de $x^n$ es $nx^{n-1}$. 3. Derivada: $$f'(x) = 8x + 1 + 0 = 8x + 1$$ --- 1. Problema: Derivar $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 2$. 2. Regla: Derivada de $x^3$ es $3x^2$, de $-3x^2$ es $-6x$, de $5x$ es 5, de constante 0. 3. Derivada: $$f'(x) = 3x^2 - 6x + 5$$ --- 1. Problema: Derivar $f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 1$. 2. Regla: Derivada de $3x^4$ es $12x^3$, de $-5x^2$ es $-10x$, constante 0. 3. Derivada: $$f'(x) = 12x^3 - 10x$$ --- 1. Problema: Derivar $f(x) = \frac{1}{8}x^8 - x^4$. 2. Regla: Derivada de $x^n$ es $nx^{n-1}$, constante multiplicativa se mantiene. 3. Derivada: $$f'(x) = \frac{1}{8} \cdot 8x^{7} - 4x^{3} = x^{7} - 4x^{3}$$ --- 1. Problema: Derivar $g(x) = x^7 - 2x^5 + 5x^3 - 7x$. 2. Regla: Derivada de cada término usando potencia y constante. 3. Derivada: $$g'(x) = 7x^{6} - 10x^{4} + 15x^{2} - 7$$ --- 1. Problema: Derivar $F(t) = \frac{1}{4}t^4 - \frac{1}{2}t^2$. 2. Regla: Derivada de $t^n$ es $nt^{n-1}$, constantes multiplicativas. 3. Derivada: $$F'(t) = \frac{1}{4} \cdot 4t^{3} - \frac{1}{2} \cdot 2t = t^{3} - t$$ --- 1. Problema: Derivar $H(x) = \frac{1}{3}x^3 - x + 224$ y $F(t) = (t^3 - 2t + 1)(2t^2 + 3t)$. 2. Regla: Para $H(x)$ usar potencia y constante; para $F(t)$ usar regla del producto: $\frac{d}{dt}[u v] = u'v + uv'$. 3. Derivada de $H(x)$: $$H'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^{2} - 1 + 0 = x^{2} - 1$$ 4. Derivadas parciales para $F(t)$: $$u = t^{3} - 2t + 1 \Rightarrow u' = 3t^{2} - 2$$ $$v = 2t^{2} + 3t \Rightarrow v' = 4t + 3$$ 5. Aplicar regla del producto: $$F'(t) = (3t^{2} - 2)(2t^{2} + 3t) + (t^{3} - 2t + 1)(4t + 3)$$ 6. Expandir y simplificar: $$= (3t^{2} - 2)(2t^{2} + 3t) + (t^{3} - 2t + 1)(4t + 3)$$ $$= (6t^{4} + 9t^{3} - 4t^{2} - 6t) + (4t^{4} + 3t^{3} - 8t^{2} - 6t + 4t + 3)$$ $$= 6t^{4} + 9t^{3} - 4t^{2} - 6t + 4t^{4} + 3t^{3} - 8t^{2} - 6t + 4t + 3$$ $$= (6t^{4} + 4t^{4}) + (9t^{3} + 3t^{3}) + (-4t^{2} - 8t^{2}) + (-6t - 6t + 4t) + 3$$ $$= 10t^{4} + 12t^{3} - 12t^{2} - 8t + 3$$