1. Problema: Derivar la función $f(x) = 7x - 5$. 2. Fórmula: La derivada de $ax^n$ es $a n x^{n-1}$ y la derivada de una constante es 0. 3. Aplicación: Derivamos término a término: $$\frac{d}{dx}(7x) = 7 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 7x^0 = 7$$ $$\frac{d}{dx}(-5) = 0$$ 4. Resultado: $$f'(x) = 7 + 0 = 7$$ --- 1. Problema: Derivar $g(x) = 8 - 3x$. 2. Aplicación: $$\frac{d}{dx}(8) = 0$$ $$\frac{d}{dx}(-3x) = -3 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = -3$$ 3. Resultado: $$g'(x) = 0 - 3 = -3$$ --- 1. Problema: Derivar $g(x) = 1 - 2x - x^2$. 2. Aplicación: $$\frac{d}{dx}(1) = 0$$ $$\frac{d}{dx}(-2x) = -2$$ $$\frac{d}{dx}(-x^2) = -2x$$ 3. Resultado: $$g'(x) = 0 - 2 - 2x = -2 - 2x$$ --- 1. Problema: Derivar $f(x) = 4x^2 + x + 1$. 2. Aplicación: $$\frac{d}{dx}(4x^2) = 4 \cdot 2 x^{2-1} = 8x$$ $$\frac{d}{dx}(x) = 1$$ $$\frac{d}{dx}(1) = 0$$ 3. Resultado: $$f'(x) = 8x + 1 + 0 = 8x + 1$$ --- 1. Problema: Derivar $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 2$. 2. Aplicación: $$\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^{2}$$ $$\frac{d}{dx}(-3x^2) = -3 \cdot 2 x^{1} = -6x$$ $$\frac{d}{dx}(5x) = 5$$ $$\frac{d}{dx}(-2) = 0$$ 3. Resultado: $$f'(x) = 3x^2 - 6x + 5 + 0 = 3x^2 - 6x + 5$$ --- 1. Problema: Derivar $f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 1$. 2. Aplicación: $$\frac{d}{dx}(3x^4) = 3 \cdot 4 x^{3} = 12x^3$$ $$\frac{d}{dx}(-5x^2) = -5 \cdot 2 x^{1} = -10x$$ $$\frac{d}{dx}(1) = 0$$ 3. Resultado: $$f'(x) = 12x^3 - 10x + 0 = 12x^3 - 10x$$ --- 1. Problema: Derivar $f(x) = \frac{1}{8} x^8 - x^4$. 2. Aplicación: $$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{8} x^8\right) = \frac{1}{8} \cdot 8 x^{7} = x^7$$ $$\frac{d}{dx}(-x^4) = -4x^{3}$$ 3. Resultado: $$f'(x) = x^7 - 4x^3$$ --- 1. Problema: Derivar $g(x) = x^7 - 2x^5 + 5x^3 - 7x$. 2. Aplicación: $$\frac{d}{dx}(x^7) = 7x^{6}$$ $$\frac{d}{dx}(-2x^5) = -2 \cdot 5 x^{4} = -10x^4$$ $$\frac{d}{dx}(5x^3) = 5 \cdot 3 x^{2} = 15x^2$$ $$\frac{d}{dx}(-7x) = -7$$ 3. Resultado: $$g'(x) = 7x^6 - 10x^4 + 15x^2 - 7$$ --- 1. Problema: Derivar $F(t) = \frac{1}{4} t^4 - \frac{1}{2} t^2$. 2. Aplicación: $$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{4} t^4\right) = \frac{1}{4} \cdot 4 t^{3} = t^3$$ $$\frac{d}{dt}\left(-\frac{1}{2} t^2\right) = -\frac{1}{2} \cdot 2 t^{1} = -t$$ 3. Resultado: $$F'(t) = t^3 - t$$ --- 1. Problema: Derivar $H(x) = \frac{1}{3} x^3 - x + 2$. 2. Aplicación: $$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3} x^3\right) = \frac{1}{3} \cdot 3 x^{2} = x^2$$ $$\frac{d}{dx}(-x) = -1$$ $$\frac{d}{dx}(2) = 0$$ 3. Resultado: $$H'(x) = x^2 - 1 + 0 = x^2 - 1$$