1. Derivar las funciones dadas: 1.a. Derivar $y = 2 \sin x + 3 \cos x$. La derivada de $\sin x$ es $\cos x$ y la de $\cos x$ es $-\sin x$. $$\frac{dy}{dx} = 2 \cos x - 3 \sin x$$ 1.b. Derivar $y = \pi x^3$. La constante $\pi$ se mantiene y la derivada de $x^3$ es $3x^2$. $$\frac{dy}{dx} = \pi \cdot 3x^2 = 3\pi x^2$$ 1.c. Derivar $y = \ln x^2 + x$. Recordemos que $\ln x^2 = 2 \ln x$ y la derivada de $\ln x$ es $\frac{1}{x}$. $$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{x} + 1 = \frac{2}{x} + 1$$ 1.d. Derivar $y = e^{3x}$. La derivada de $e^{u}$ es $e^{u} \cdot \frac{du}{dx}$, aquí $u=3x$ y $\frac{du}{dx} = 3$. $$\frac{dy}{dx} = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$$ 1.e. Derivar $y = 2 \cos x - 4 \cos x$. Simplificamos primero: $y = (2 - 4) \cos x = -2 \cos x$. Derivada: $$\frac{dy}{dx} = -2 \cdot (-\sin x) = 2 \sin x$$ 1.f. Derivar $y = \pi x^7 - 2x^5$. Derivamos término a término: $$\frac{dy}{dx} = \pi \cdot 7x^6 - 2 \cdot 5x^4 = 7\pi x^6 - 10x^4$$ 1.g. Derivar $y = 3x^2 - \ln x$. Derivada: $$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot 2x - \frac{1}{x} = 6x - \frac{1}{x}$$ 1.h. Derivar $y = e^{2x}$. Usamos regla de la cadena con $u=2x$, $\frac{du}{dx} = 2$: $$\frac{dy}{dx} = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$$ 2. Encontrar $\frac{dy}{dx}$ para $y = \sin(x^2 + x)$ usando regla de la cadena. Sea $u = x^2 + x$, entonces $y = \sin u$. Derivamos: $$\frac{dy}{dx} = \cos u \cdot \frac{du}{dx}$$ Calculamos $\frac{du}{dx} = 2x + 1$. Por lo tanto: $$\frac{dy}{dx} = \cos(x^2 + x) \cdot (2x + 1)$$ 3. Encontrar $\frac{dy}{dx}$ para $y = (x + \sin x)^2$ usando regla de la cadena. Sea $u = x + \sin x$, entonces $y = u^2$. Derivamos: $$\frac{dy}{dx} = 2u \cdot \frac{du}{dx}$$ Calculamos $\frac{du}{dx} = 1 + \cos x$. Por lo tanto: $$\frac{dy}{dx} = 2(x + \sin x)(1 + \cos x)$$