1. Planteamos el problema: Analizar la función $f(x) = \cos(2x) + 2x$ usando la primera y segunda derivada para determinar intervalos de crecimiento/decrecimiento, puntos críticos, puntos singulares, concavidad y clasificación de puntos críticos. 2. Calculamos la primera derivada usando reglas de derivación: $$f'(x) = \frac{d}{dx}[\cos(2x)] + \frac{d}{dx}[2x] = -2\sin(2x) + 2$$ 3. Encontramos los puntos críticos resolviendo $f'(x) = 0$: $$-2\sin(2x) + 2 = 0 \implies -2\sin(2x) = -2 \implies \sin(2x) = 1$$ 4. Las soluciones de $\sin(2x) = 1$ son: $$2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi$$ 5. No hay puntos singulares porque $f'(x)$ está definida para todo $x$. 6. Calculamos la segunda derivada para analizar concavidad: $$f''(x) = \frac{d}{dx}[-2\sin(2x) + 2] = -4\cos(2x)$$ 7. Determinamos la concavidad: - Si $f''(x) > 0 \implies -4\cos(2x) > 0 \implies \cos(2x) < 0$, la función es cóncava hacia arriba. - Si $f''(x) < 0 \implies \cos(2x) > 0$, la función es cóncava hacia abajo. 8. Clasificamos los puntos críticos evaluando $f''(x)$ en $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$: $$f''\left(\frac{\pi}{4} + k\pi\right) = -4\cos\left(2\left(\frac{\pi}{4} + k\pi\right)\right) = -4\cos\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right) = -4 \cdot 0 = 0$$ 9. Como $f''(x) = 0$ en los puntos críticos, usamos la primera derivada para analizar el cambio de signo alrededor de $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$: - Para $x$ ligeramente menor que $\frac{\pi}{4}$, $f'(x) > 0$ (creciente). - Para $x$ ligeramente mayor que $\frac{\pi}{4}$, $f'(x) < 0$ (decreciente). Esto indica que $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$ son máximos locales. 10. Resumen: - Creciente en intervalos donde $f'(x) > 0$. - Decreciente en intervalos donde $f'(x) < 0$. - Puntos críticos en $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$, todos máximos locales. - No hay puntos singulares. - Concavidad hacia arriba donde $\cos(2x) < 0$ y hacia abajo donde $\cos(2x) > 0$. Respuesta final: La función tiene máximos locales en $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$, crece y decrece alternadamente según el signo de $f'(x)$, y la concavidad cambia según el signo de $\cos(2x)$.