1. Problema 25: Calcular la derivada de $$f(x) = (x^2 - 3x + 2)(2x^3 + 1)$$ usando la regla del producto. 2. Fórmula: La derivada del producto de dos funciones $$u(x)v(x)$$ es $$u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$$. 3. Identificamos $$u(x) = x^2 - 3x + 2$$ y $$v(x) = 2x^3 + 1$$. 4. Derivamos cada función: $$u'(x) = 2x - 3$$ $$v'(x) = 6x^2$$ 5. Aplicamos la regla del producto: $$f'(x) = (2x - 3)(2x^3 + 1) + (x^2 - 3x + 2)(6x^2)$$ 6. Expandimos y simplificamos: $$f'(x) = (2x - 3)(2x^3 + 1) + (x^2 - 3x + 2)(6x^2)$$ $$= 4x^4 + 2x - 6x^3 - 3 + 6x^4 - 18x^3 + 12x^2$$ 7. Sumamos términos semejantes: $$f'(x) = (4x^4 + 6x^4) + (-6x^3 - 18x^3) + 12x^2 + 2x - 3$$ $$= 10x^4 - 24x^3 + 12x^2 + 2x - 3$$ --- 1. Problema 26: Calcular $$\frac{d}{dx} \left( \frac{2x}{x+3} \right)$$ usando la regla del cociente. 2. Fórmula: La derivada de $$\frac{u}{v}$$ es $$\frac{u'v - uv'}{v^2}$$. 3. Identificamos $$u = 2x$$ y $$v = x + 3$$. 4. Derivamos: $$u' = 2$$ $$v' = 1$$ 5. Aplicamos la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{2(x+3) - 2x(1)}{(x+3)^2} = \frac{2x + 6 - 2x}{(x+3)^2}$$ 6. Simplificamos: $$f'(x) = \frac{6}{(x+3)^2}$$ --- 1. Problema 27: Calcular $$\frac{d}{dx} \left( \frac{x}{x-1} \right)$$. 2. Usamos la regla del cociente con $$u = x$$ y $$v = x - 1$$. 3. Derivadas: $$u' = 1$$ $$v' = 1$$ 4. Aplicamos la fórmula: $$f'(x) = \frac{1(x-1) - x(1)}{(x-1)^2} = \frac{x - 1 - x}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2}$$ --- 1. Problema 28: Calcular $$\frac{d}{dy} \left( \frac{2y + 1}{3y + 4} \right)$$. 2. Regla del cociente con $$u = 2y + 1$$ y $$v = 3y + 4$$. 3. Derivadas: $$u' = 2$$ $$v' = 3$$ 4. Aplicamos la fórmula: $$f'(y) = \frac{2(3y + 4) - (2y + 1)3}{(3y + 4)^2} = \frac{6y + 8 - 6y - 3}{(3y + 4)^2} = \frac{5}{(3y + 4)^2}$$ --- 1. Problema 29: Calcular $$\frac{d}{dx} \left( \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 2x + 1} \right)$$. 2. Regla del cociente con $$u = x^2 + 2x + 1$$ y $$v = x^2 - 2x + 1$$. 3. Derivadas: $$u' = 2x + 2$$ $$v' = 2x - 2$$ 4. Aplicamos la fórmula: $$f'(x) = \frac{(2x + 2)(x^2 - 2x + 1) - (x^2 + 2x + 1)(2x - 2)}{(x^2 - 2x + 1)^2}$$ 5. Expandimos numerador: $$= (2x + 2)(x^2 - 2x + 1) - (x^2 + 2x + 1)(2x - 2)$$ $$= (2x^3 - 4x^2 + 2x + 2x^2 - 4x + 2) - (2x^3 - 2x^2 + 4x^2 - 4x + 2x - 2)$$ $$= (2x^3 - 2x^2 - 2x + 2) - (2x^3 + 2x^2 - 2x - 2)$$ 6. Simplificamos: $$= 2x^3 - 2x^2 - 2x + 2 - 2x^3 - 2x^2 + 2x + 2 = -4x^2 + 4$$ 7. Resultado: $$f'(x) = \frac{-4x^2 + 4}{(x^2 - 2x + 1)^2} = \frac{-4(x^2 - 1)}{(x - 1)^4}$$ --- 1. Problema 30: Calcular $$\frac{d}{dx} \left( \frac{4 - 3x - x^2}{x - 2} \right)$$. 2. Regla del cociente con $$u = 4 - 3x - x^2$$ y $$v = x - 2$$. 3. Derivadas: $$u' = -3 - 2x$$ $$v' = 1$$ 4. Aplicamos la fórmula: $$f'(x) = \frac{(-3 - 2x)(x - 2) - (4 - 3x - x^2)(1)}{(x - 2)^2}$$ 5. Expandimos numerador: $$= (-3x + 6 - 2x^2 + 4x) - (4 - 3x - x^2) = (-2x^2 + x + 6) - (4 - 3x - x^2)$$ $$= -2x^2 + x + 6 - 4 + 3x + x^2 = -x^2 + 4x + 2$$ 6. Resultado: $$f'(x) = \frac{-x^2 + 4x + 2}{(x - 2)^2}$$