1. El primer problema es encontrar la derivada de la función $f(x) = 3x^2 - (x+2)^3$ usando la fórmula de la derivada y la regla de la suma y la cadena. 2. La fórmula para la derivada de una suma es $\frac{d}{dx}[u(x) + v(x)] = u'(x) + v'(x)$ y para la derivada de una potencia es $\frac{d}{dx}[g(x)^n] = n g(x)^{n-1} g'(x)$. 3. Derivamos cada término: $$f'(x) = \frac{d}{dx}[3x^2] - \frac{d}{dx}[(x+2)^3] = 6x - 3(x+2)^2 \cdot 1$$ 4. Simplificamos: $$f'(x) = 6x - 3(x^2 + 4x + 4) = 6x - 3x^2 - 12x - 12$$ 5. Finalmente: $$f'(x) = -3x^2 - 6x - 12$$ Este es el resultado para la derivada de $f(x)$. --- El segundo problema es derivar la función racional $$f(x) = \frac{-x^2 + 4x + 4}{x^2 - 4x + 3}$$ usando la regla del cociente. 1. La regla del cociente es: $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ 2. Definimos: $$u = -x^2 + 4x + 4, \quad v = x^2 - 4x + 3$$ 3. Derivamos $u$ y $v$: $$u' = -2x + 4, \quad v' = 2x - 4$$ 4. Aplicamos la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(-2x + 4)(x^2 - 4x + 3) - (-x^2 + 4x + 4)(2x - 4)}{(x^2 - 4x + 3)^2}$$ 5. Expandimos y simplificamos el numerador: $$(-2x + 4)(x^2 - 4x + 3) = -2x^3 + 8x^2 - 6x + 4x^2 - 16x + 12 = -2x^3 + 12x^2 - 22x + 12$$ $$(-x^2 + 4x + 4)(2x - 4) = -2x^3 + 4x^2 + 8x + 8x^2 - 16x - 16 = -2x^3 + 12x^2 - 8x - 16$$ 6. Restamos: $$(-2x^3 + 12x^2 - 22x + 12) - (-2x^3 + 12x^2 - 8x - 16) = -2x^3 + 12x^2 - 22x + 12 + 2x^3 - 12x^2 + 8x + 16 = -14x + 28$$ 7. Por lo tanto: $$f'(x) = \frac{-14x + 28}{(x^2 - 4x + 3)^2} = \frac{-14(x - 2)}{(x^2 - 4x + 3)^2}$$ --- El tercer problema es derivar la función racional $$N(t) = \frac{350t}{2t^2 - 3t + 8}$$ para $t \geq 0$. 1. Usamos la regla del cociente con: $$u = 350t, \quad v = 2t^2 - 3t + 8$$ 2. Derivamos: $$u' = 350, \quad v' = 4t - 3$$ 3. Aplicamos la regla del cociente: $$N'(t) = \frac{350(2t^2 - 3t + 8) - 350t(4t - 3)}{(2t^2 - 3t + 8)^2}$$ 4. Expandimos el numerador: $$350(2t^2 - 3t + 8) = 700t^2 - 1050t + 2800$$ $$350t(4t - 3) = 1400t^2 - 1050t$$ 5. Restamos: $$700t^2 - 1050t + 2800 - (1400t^2 - 1050t) = 700t^2 - 1050t + 2800 - 1400t^2 + 1050t = -700t^2 + 2800$$ 6. Simplificamos: $$N'(t) = \frac{-700t^2 + 2800}{(2t^2 - 3t + 8)^2} = \frac{-700(t^2 - 4)}{(2t^2 - 3t + 8)^2}$$ --- El cuarto problema es derivar la función lineal $$B(x) = ax + bvx$$. 1. Sumamos términos semejantes: $$B(x) = (a + bv)x$$ 2. La derivada de una función lineal $cx$ es $c$. 3. Por lo tanto: $$B'(x) = a + bv$$ --- El quinto problema es derivar la función a trozos: $$N(t) = \begin{cases} t^2 - 8t + 50, & 0 \leq t \leq 10 \\ 95 - \frac{250}{t}, & t > 10 \end{cases}$$ 1. Derivamos cada parte por separado. 2. Para $0 \leq t \leq 10$: $$N'(t) = 2t - 8$$ 3. Para $t > 10$: $$N'(t) = 0 - \frac{d}{dt}\left(\frac{250}{t}\right) = -250 \cdot \left(-\frac{1}{t^2}\right) = \frac{250}{t^2}$$ --- **Resumen:** - $f'(x) = -3x^2 - 6x - 12$ - $f'(x) = \frac{-14(x - 2)}{(x^2 - 4x + 3)^2}$ - $N'(t) = \frac{-700(t^2 - 4)}{(2t^2 - 3t + 8)^2}$ - $B'(x) = a + bv$ - $N'(t) = \begin{cases} 2t - 8, & 0 \leq t \leq 10 \\ \frac{250}{t^2}, & t > 10 \end{cases}$