1. Planteamos el problema: Tenemos la función de posición $s(t) = -t^3 + 6t^2 + 15t + 10$ para $t \geq 0$ y queremos encontrar la velocidad $v(t)$ y la aceleración $a(t)$. 2. Recordemos que la velocidad es la derivada de la posición respecto al tiempo: $$v(t) = \frac{ds}{dt}$$ y la aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo: $$a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 s}{dt^2}$$. 3. Derivamos $s(t)$ para obtener $v(t)$: $$v(t) = \frac{d}{dt}(-t^3 + 6t^2 + 15t + 10) = -3t^2 + 12t + 15$$ 4. Derivamos $v(t)$ para obtener $a(t)$: $$a(t) = \frac{d}{dt}(-3t^2 + 12t + 15) = -6t + 12$$ 5. Ahora, para la función $f(x) = \frac{5}{3} \sqrt{x + 6} + 2$, queremos analizar la pendiente de la tangente en $x=3$. 6. Primero, recordemos que la derivada de $f(x)$ nos da la pendiente de la tangente: $$f'(x) = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+6}} = \frac{5}{6\sqrt{x+6}}$$ 7. Evaluamos la derivada en $x=3$ para obtener la pendiente de la tangente: $$f'(3) = \frac{5}{6\sqrt{3+6}} = \frac{5}{6\sqrt{9}} = \frac{5}{6 \cdot 3} = \frac{5}{18}$$ 8. La pendiente de la tangente en $x=3$ es $\frac{5}{18}$, lo que significa que la recta tangente tiene esa inclinación en ese punto. 9. El valor de la función en $x=3$ es: $$f(3) = \frac{5}{3} \sqrt{3+6} + 2 = \frac{5}{3} \cdot 3 + 2 = 5 + 2 = 7$$ 10. La ecuación de la recta tangente en $x=3$ usando la fórmula punto-pendiente es: $$y - f(3) = f'(3)(x - 3)$$ $$y - 7 = \frac{5}{18}(x - 3)$$ 11. Simplificando: $$y = \frac{5}{18}x - \frac{5}{18} \cdot 3 + 7 = \frac{5}{18}x - \frac{15}{18} + 7 = \frac{5}{18}x + \frac{111}{18}$$ 12. Así, la recta tangente toca la curva en el punto $(3,7)$ con pendiente $\frac{5}{18}$. Este análisis muestra cómo derivar funciones para obtener velocidad y aceleración, y cómo encontrar la pendiente y ecuación de la tangente a una curva en un punto dado.