1. **Planteamiento del problema:** Se tiene una función por tramos que modela la temperatura $T(t)$ de una pieza metálica en función del tiempo $t$: $$ T(t) = \begin{cases} 2t^2 - 8t + 10 & \text{si } 0 \leq t \leq 3 \\ kt + 1 & \text{si } t > 3 \end{cases} $$ Se pide: a) Encontrar $k$ para que $T(t)$ sea continua en $t=3$. b) Calcular la segunda derivada $T''(t)$ para el primer tramo e interpretar su significado. c) Evaluar $T'(2)$ y $T'(5)$ e interpretar cada resultado. 2. **a) Continuidad en $t=3$:** Para que $T(t)$ sea continua en $t=3$, los límites laterales deben coincidir y ser iguales al valor de la función en $t=3$. Esto implica: $$ \lim_{t \to 3^-} T(t) = T(3) = \lim_{t \to 3^+} T(t) $$ Calculamos cada uno: - Límite por la izquierda (primer tramo): $$ T(3) = 2(3)^2 - 8(3) + 10 = 2 \times 9 - 24 + 10 = 18 - 24 + 10 = 4 $$ - Límite por la derecha (segundo tramo): $$ \lim_{t \to 3^+} T(t) = k(3) + 1 = 3k + 1 $$ Igualamos para continuidad: $$ 4 = 3k + 1 $$ Despejamos $k$: $$ 3k = 4 - 1 = 3 \implies k = \frac{3}{3} = 1 $$ 3. **b) Segunda derivada $T''(t)$ para $0 \leq t \leq 3$:** La función en el primer tramo es: $$ T(t) = 2t^2 - 8t + 10 $$ Primero calculamos la primera derivada: $$ T'(t) = \frac{d}{dt}(2t^2 - 8t + 10) = 4t - 8 $$ Luego la segunda derivada: $$ T''(t) = \frac{d}{dt}(4t - 8) = 4 $$ **Interpretación física:** La segunda derivada $T''(t)$ representa la aceleración o tasa de cambio de la velocidad de enfriamiento. En este caso, es constante e igual a 4, lo que indica que la temperatura cambia con una aceleración constante durante el primer tramo. 4. **c) Evaluar $T'(2)$ y $T'(5)$ e interpretar:** - Para $t=2$ (primer tramo): $$ T'(2) = 4(2) - 8 = 8 - 8 = 0 $$ Esto significa que en $t=2$ minutos, la tasa de cambio de la temperatura es cero, es decir, la temperatura está momentáneamente constante o en un punto crítico. - Para $t=5$ (segundo tramo): Recordando que $k=1$, la función para $t>3$ es: $$ T(t) = t + 1 $$ La derivada es: $$ T'(t) = 1 $$ Por lo tanto: $$ T'(5) = 1 $$ Esto indica que en $t=5$ minutos, la temperatura está aumentando a una tasa constante de 1 grado por minuto. **Respuesta final:** $$ k = 1, \quad T''(t) = 4 \text{ para } 0 \leq t \leq 3, \quad T'(2) = 0, \quad T'(5) = 1 $$