1. **Planteamiento del problema:** Hallar los intervalos de crecimiento, decrecimiento y los extremos relativos de la función $$f(x) = x^3(8x^2 - 10x - 80)$$. 2. **Expresión de la función:** Primero expandimos la función para facilitar la derivación: $$f(x) = x^3(8x^2 - 10x - 80) = 8x^5 - 10x^4 - 80x^3$$ 3. **Derivada de la función:** Aplicamos la regla de potencia término a término: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(8x^5) - \frac{d}{dx}(10x^4) - \frac{d}{dx}(80x^3) = 40x^4 - 40x^3 - 240x^2$$ 4. **Factorización de la derivada:** Sacamos factor común: $$f'(x) = 40x^2(x^2 - x - 6)$$ 5. **Factorización del trinomio:** Factorizamos $$x^2 - x - 6$$: $$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$$ 6. **Puntos críticos:** Igualamos la derivada a cero para encontrar puntos críticos: $$40x^2(x - 3)(x + 2) = 0$$ Esto implica: $$x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$$ $$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$$ $$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$$ 7. **Análisis de signos de $$f'(x)$$:** Dividimos la recta real en intervalos según los puntos críticos: - Intervalo $$(-\infty, -2)$$ - Intervalo $$(-2, 0)$$ - Intervalo $$(0, 3)$$ - Intervalo $$(3, \infty)$$ Probamos el signo de $$f'(x)$$ en cada intervalo: - Para $$x = -3$$: $$40(-3)^2(-3 - 3)(-3 + 2) = 40(9)(-6)(-1) > 0$$ (positivo) - Para $$x = -1$$: $$40(1)(-1 - 3)(-1 + 2) = 40(1)(-4)(1) < 0$$ (negativo) - Para $$x = 1$$: $$40(1)(1 - 3)(1 + 2) = 40(1)(-2)(3) < 0$$ (negativo) - Para $$x = 4$$: $$40(16)(4 - 3)(4 + 2) = 40(16)(1)(6) > 0$$ (positivo) 8. **Conclusión sobre crecimiento y decrecimiento:** - Crece en $$(-\infty, -2)$$ y $$(3, \infty)$$ - Decrece en $$(-2, 0)$$ y $$(0, 3)$$ 9. **Extremos relativos:** - En $$x = -2$$ cambia de creciente a decreciente: máximo relativo. - En $$x = 0$$ la derivada cambia de negativa a negativa (no cambia de signo), por lo que no es extremo. - En $$x = 3$$ cambia de decreciente a creciente: mínimo relativo. **Respuesta final:** - Intervalos de crecimiento: $$(-\infty, -2) \cup (3, \infty)$$ - Intervalos de decrecimiento: $$(-2, 0) \cup (0, 3)$$ - Máximo relativo en $$x = -2$$ - Mínimo relativo en $$x = 3$$