1. Enunciado do problema: Dada a função $$f(x) = \frac{k}{2}x^3 - kx^2 + \frac{x}{6} - 1$$, onde $k$ é um número real, determine o valor de $k$ para que: 2.1. A função atinja um máximo em $x=1$. 2.2. O gráfico da função tenha um ponto de inflexão em $x=1$. 2. Fórmulas e regras importantes: - Para encontrar máximos ou mínimos, usamos a primeira derivada $f'(x)$ e verificamos onde $f'(x) = 0$. - Para que haja um máximo em $x=1$, $f'(1) = 0$ e a segunda derivada $f''(1) < 0$. - Para pontos de inflexão, a segunda derivada $f''(x) = 0$. 3. Calculando a primeira derivada: $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{k}{2}x^3 - kx^2 + \frac{x}{6} - 1 \right) = \frac{3k}{2}x^2 - 2kx + \frac{1}{6}$$ 4. Condição para máximo em $x=1$: $$f'(1) = \frac{3k}{2} (1)^2 - 2k (1) + \frac{1}{6} = \frac{3k}{2} - 2k + \frac{1}{6} = 0$$ Simplificando: $$\frac{3k}{2} - 2k = \frac{3k}{2} - \frac{4k}{2} = -\frac{k}{2}$$ Logo: $$-\frac{k}{2} + \frac{1}{6} = 0$$ Isolando $k$: $$-\frac{k}{2} = -\frac{1}{6}$$ $$\cancel{-}\frac{k}{2} = \cancel{-}\frac{1}{6}$$ Multiplicando ambos os lados por 2: $$k = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ 5. Calculando a segunda derivada: $$f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{3k}{2}x^2 - 2kx + \frac{1}{6} \right) = 3kx - 2k$$ 6. Verificando se $x=1$ é máximo para $k=\frac{1}{3}$: $$f''(1) = 3 \times \frac{1}{3} \times 1 - 2 \times \frac{1}{3} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} > 0$$ Como $f''(1) > 0$, $x=1$ é um ponto de mínimo, não máximo. Portanto, para que seja máximo, precisamos que $f''(1) < 0$. 7. Para que $f''(1) < 0$: $$3k(1) - 2k = k(3 - 2) = k < 0$$ Ou seja, $k < 0$. Mas da condição $f'(1) = 0$ obtivemos $k = \frac{1}{3} > 0$, que contradiz $k < 0$. Conclusão: Não existe $k$ real que satisfaça simultaneamente $f'(1) = 0$ e $f''(1) < 0$, logo a função não atinge máximo em $x=1$. 8. Para o ponto de inflexão em $x=1$, temos: $$f''(1) = 0$$ Substituindo: $$3k(1) - 2k = k(3 - 2) = k = 0$$ Logo: $$k = 0$$ 9. Resumo das respostas: - Para máximo em $x=1$: não existe $k$ real que satisfaça. - Para ponto de inflexão em $x=1$: $k = 0$. Resposta final: $$\boxed{\text{2.1. Não existe } k \in \mathbb{R} \text{ para máximo em } x=1}$$ $$\boxed{\text{2.2. } k=0 \text{ para ponto de inflexão em } x=1}$$