1. El problema consiste en seleccionar y resolver dos ejercicios de aplicación relacionados con Optimización o Razón de Cambio. 2. Para problemas de Optimización, se usa la derivada para encontrar máximos o mínimos de funciones que modelan situaciones reales. 3. Para problemas de Razón de Cambio, se aplican derivadas para relacionar tasas de cambio de diferentes variables. 4. Como ejemplo, resolveremos un problema típico de Optimización: "Encontrar las dimensiones de un rectángulo de área fija que minimizan el perímetro". 5. Sea $x$ y $y$ las dimensiones del rectángulo, con área fija $A$, entonces $xy=A$. 6. El perímetro es $P=2x+2y$; queremos minimizar $P$ sujeto a $xy=A$. 7. De $xy=A$, despejamos $y=\frac{A}{x}$. 8. Sustituimos en $P$: $$P=2x+2\frac{A}{x}$$. 9. Derivamos $P$ respecto a $x$: $$\frac{dP}{dx}=2-2\frac{A}{x^2}$$. 10. Igualamos a cero para encontrar extremos: $$2-2\frac{A}{x^2}=0 \Rightarrow 2=2\frac{A}{x^2} \Rightarrow x^2=A \Rightarrow x=\sqrt{A}$$. 11. Calculamos $y=\frac{A}{\sqrt{A}}=\sqrt{A}$. 12. Por lo tanto, el rectángulo de área $A$ que minimiza el perímetro es un cuadrado de lado $\sqrt{A}$. Este es un ejemplo de problema de Optimización. Para Razón de Cambio, un ejemplo sería: "Si el radio de un círculo crece a razón de 3 unidades por segundo, ¿a qué velocidad cambia el área cuando el radio es 5?" 1. El área del círculo es $A=\pi r^2$. 2. Derivamos respecto al tiempo $t$: $$\frac{dA}{dt}=2\pi r \frac{dr}{dt}$$. 3. Dado $\frac{dr}{dt}=3$ y $r=5$, sustituimos: $$\frac{dA}{dt}=2\pi (5)(3)=30\pi$$. 4. Por lo tanto, el área cambia a razón de $30\pi$ unidades cuadradas por segundo cuando $r=5$. Estos ejemplos ilustran cómo abordar problemas de Optimización y Razón de Cambio usando derivadas.