1. El problema pide derivar la función $$Y = 17 x^7 - 9 x^6 + 8 x^5 - 9 x^3 - 12x + 13$$ y determinar su quinta derivada usando el número 8 para el exponente en la derivada. 2. La fórmula para la derivada de una potencia es $$\frac{d}{dx} x^m = m x^{m-1}$$. 3. Derivamos paso a paso cada término hasta la quinta derivada: - Primera derivada: $$Y' = 17 \cdot 7 x^{6} - 9 \cdot 6 x^{5} + 8 \cdot 5 x^{4} - 9 \cdot 3 x^{2} - 12$$ $$Y' = 119 x^{6} - 54 x^{5} + 40 x^{4} - 27 x^{2} - 12$$ - Segunda derivada: $$Y'' = 119 \cdot 6 x^{5} - 54 \cdot 5 x^{4} + 40 \cdot 4 x^{3} - 27 \cdot 2 x^{1}$$ $$Y'' = 714 x^{5} - 270 x^{4} + 160 x^{3} - 54 x$$ - Tercera derivada: $$Y''' = 714 \cdot 5 x^{4} - 270 \cdot 4 x^{3} + 160 \cdot 3 x^{2} - 54$$ $$Y''' = 3570 x^{4} - 1080 x^{3} + 480 x^{2} - 54$$ - Cuarta derivada: $$Y^{(4)} = 3570 \cdot 4 x^{3} - 1080 \cdot 3 x^{2} + 480 \cdot 2 x$$ $$Y^{(4)} = 14280 x^{3} - 3240 x^{2} + 960 x$$ - Quinta derivada: $$Y^{(5)} = 14280 \cdot 3 x^{2} - 3240 \cdot 2 x + 960$$ $$Y^{(5)} = 42840 x^{2} - 6480 x + 960$$ 4. Por lo tanto, la quinta derivada de la función dada es: $$\boxed{Y^{(5)} = 42840 x^{2} - 6480 x + 960}$$ Este resultado usa la regla de derivación de potencias y se aplica sucesivamente cinco veces para obtener la quinta derivada.