1. El problema pide encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x) = x^2 - 6x + 8$ en $x=1$ usando la definición de derivada. 2. La fórmula para la pendiente de la recta tangente en $x=a$ es la derivada de $f$ en $a$, definida como: $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ Esta pendiente es la pendiente de la recta tangente. 3. Primero calculamos $f(1)$: $$f(1) = 1^2 - 6(1) + 8 = 1 - 6 + 8 = 3$$ 4. Calculamos $f(1+h)$: $$f(1+h) = (1+h)^2 - 6(1+h) + 8 = (1 + 2h + h^2) - 6 - 6h + 8 = (1 - 6 + 8) + (2h - 6h) + h^2 = 3 - 4h + h^2$$ 5. Sustituimos en la definición de derivada: $$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3 - 4h + h^2 - 3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-4h + h^2}{h}$$ 6. Simplificamos la fracción cancelando $h$: $$\frac{-4h + h^2}{h} = \frac{h(-4 + h)}{h} = \cancel{h}(-4 + h)/\cancel{h} = -4 + h$$ 7. Tomamos el límite cuando $h \to 0$: $$f'(1) = \lim_{h \to 0} (-4 + h) = -4$$ 8. La pendiente de la recta tangente en $x=1$ es $-4$. 9. La ecuación de la recta tangente en punto $(1,3)$ con pendiente $m = -4$ es: $$y - y_1 = m(x - x_1)$$ $$y - 3 = -4(x - 1)$$ $$y = -4x + 4 + 3 = -4x + 7$$ 10. Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es: $$y = -4x + 7$$ 11. Para graficar, la función es $f(x) = x^2 - 6x + 8$ y la recta tangente es $y = -4x + 7$ en $x=1$. Respuesta final: La ecuación de la recta tangente a la curva en $x=1$ es $$y = -4x + 7$$.