1. **Planteamiento del problema:** Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x) = x^2 - 6x + 8$ en $x=1$ usando la definición de derivada. 2. **Fórmula usada:** La pendiente de la recta tangente en $x=a$ es la derivada de $f$ en $a$, definida por $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.$$ La ecuación de la recta tangente es $$y = f(a) + f'(a)(x - a).$$ 3. **Calcular $f(1)$:** $$f(1) = 1^2 - 6(1) + 8 = 1 - 6 + 8 = 3.$$ 4. **Calcular $f'(1)$ usando la definición:** $$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^2 - 6(1+h) + 8 - 3}{h}.$$ Expandimos el numerador: $$(1+h)^2 - 6(1+h) + 8 - 3 = (1 + 2h + h^2) - 6 - 6h + 8 - 3 = (1 - 6 + 8 - 3) + (2h - 6h) + h^2 = 0 - 4h + h^2 = h^2 - 4h.$$ Entonces, $$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 - 4h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\cancel{h}(h - 4)}{\cancel{h}} = \lim_{h \to 0} (h - 4) = -4.$$ 5. **Ecuación de la recta tangente:** $$y = f(1) + f'(1)(x - 1) = 3 - 4(x - 1) = 3 - 4x + 4 = 7 - 4x.$$ 6. **Respuesta final:** La ecuación de la recta tangente es $$y = 7 - 4x.$$