1. Planteamos el problema: hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la función dada en el punto indicado. 2. Recordemos que la pendiente de la recta tangente en $x=a$ es $f'(a)$, y la ecuación de la recta tangente es: $$y = f(a) + f'(a)(x - a)$$ La pendiente de la recta normal es la negativa del inverso de la pendiente tangente: $$m_{normal} = -\frac{1}{f'(a)}$$ Y su ecuación es: $$y = f(a) + m_{normal}(x - a)$$ --- **b) Para** $f(x) = \sqrt{x+1}$ **en** $x=3$: 3. Calculamos $f(3)$: $$f(3) = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$$ 4. Derivamos $f(x)$: $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$$ 5. Calculamos $f'(3)$: $$f'(3) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \times 2} = \frac{1}{4}$$ 6. Ecuación de la recta tangente: $$y = 2 + \frac{1}{4}(x - 3) = 2 + \frac{1}{4}x - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}x + \frac{5}{4}$$ 7. Pendiente de la recta normal: $$m_{normal} = -\frac{1}{\frac{1}{4}} = -4$$ 8. Ecuación de la recta normal: $$y = 2 - 4(x - 3) = 2 - 4x + 12 = -4x + 14$$ --- **c) Para** $f(x) = \frac{2 - x}{x^3}$ **en** $x = -1$: 9. Calculamos $f(-1)$: $$f(-1) = \frac{2 - (-1)}{(-1)^3} = \frac{3}{-1} = -3$$ 10. Derivamos usando la regla del cociente: $$f(x) = \frac{2 - x}{x^3}$$ $$f'(x) = \frac{(0 - 1) x^3 - (2 - x) 3x^2}{(x^3)^2} = \frac{-x^3 - 3x^2(2 - x)}{x^6}$$ 11. Simplificamos el numerador: $$-x^3 - 3x^2(2 - x) = -x^3 - 6x^2 + 3x^3 = 2x^3 - 6x^2$$ 12. Por lo tanto: $$f'(x) = \frac{2x^3 - 6x^2}{x^6} = \frac{2x^3}{x^6} - \frac{6x^2}{x^6} = 2x^{-3} - 6x^{-4}$$ 13. Evaluamos en $x = -1$: $$f'(-1) = 2(-1)^{-3} - 6(-1)^{-4} = 2(-1) - 6(1) = -2 - 6 = -8$$ 14. Ecuación de la recta tangente: $$y = -3 - 8(x + 1) = -3 - 8x - 8 = -8x - 11$$ 15. Pendiente de la recta normal: $$m_{normal} = -\frac{1}{-8} = \frac{1}{8}$$ 16. Ecuación de la recta normal: $$y = -3 + \frac{1}{8}(x + 1) = -3 + \frac{1}{8}x + \frac{1}{8} = \frac{1}{8}x - \frac{23}{8}$$ --- **d) Para** $f(x) = \ln x$ **en** $x = e^2$: 17. Calculamos $f(e^2)$: $$f(e^2) = \ln(e^2) = 2$$ 18. Derivamos: $$f'(x) = \frac{1}{x}$$ 19. Evaluamos en $x = e^2$: $$f'(e^2) = \frac{1}{e^2}$$ 20. Ecuación de la recta tangente: $$y = 2 + \frac{1}{e^2}(x - e^2) = 2 + \frac{x}{e^2} - 1 = \frac{x}{e^2} + 1$$ 21. Pendiente de la recta normal: $$m_{normal} = -\frac{1}{\frac{1}{e^2}} = -e^2$$ 22. Ecuación de la recta normal: $$y = 2 - e^2(x - e^2) = 2 - e^2 x + e^4$$ --- **e) Para** $f(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ **en** $x = \frac{\pi}{3}$: 23. Calculamos $f\left(\frac{\pi}{3}\right)$: $$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$ 24. Derivamos: $$f'(x) = \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$$ 25. Evaluamos en $x = \frac{\pi}{3}$: $$f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 26. Ecuación de la recta tangente: $$y = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\sqrt{3}\pi}{6}$$ 27. Pendiente de la recta normal: $$m_{normal} = -\frac{1}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$ 28. Ecuación de la recta normal: $$y = \frac{1}{2} + \frac{2}{\sqrt{3}}\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} + \frac{2}{\sqrt{3}}x - \frac{2\pi}{3\sqrt{3}}$$