1. **Enunciado do problema:** Temos a função derivada $$g'(x) = \frac{3x^2 + 6x - 2}{x^2 + 2x + 1}$$ com domínio $$\mathbb{R} \setminus \{-1\}$$. Sabemos que $$g(-2) = -1$$ e que $$a = \lim_{x \to -2} \frac{-3 - 3g(x)}{x^2 + x - 2}$$ é um número real. Queremos encontrar a equação reduzida da reta tangente $$r$$ ao gráfico de $$g'$$ no ponto de abcissa $$a$$. 2. **Análise do limite para encontrar $$a$$:** O denominador do limite é $$x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$$. Como $$x \to -2$$, o denominador tende a zero, então para o limite existir e ser finito, o numerador deve tender a zero também. 3. **Encontrar o valor do numerador no limite:** O numerador é $$-3 - 3g(x) = -3(1 + g(x))$$. Para que o limite exista, $$-3 - 3g(x) \to 0$$ quando $$x \to -2$$, ou seja, $$1 + g(-2) = 0 \Rightarrow g(-2) = -1$$, que é dado. 4. **Aplicar regra de L'Hôpital para o limite:** Como temos forma $$\frac{0}{0}$$, aplicamos L'Hôpital: $$a = \lim_{x \to -2} \frac{-3 - 3g(x)}{x^2 + x - 2} = \lim_{x \to -2} \frac{-3g'(x)}{2x + 1}$$. 5. **Calcular $$g'(-2)$$:** Substituindo $$x = -2$$ em $$g'(x)$$: Denominador: $$(-2)^2 + 2(-2) + 1 = 4 - 4 + 1 = 1$$. Numerador: $$3(-2)^2 + 6(-2) - 2 = 3(4) - 12 - 2 = 12 - 12 - 2 = -2$$. Logo, $$g'(-2) = \frac{-2}{1} = -2$$. 6. **Calcular $$a$$:** $$a = \lim_{x \to -2} \frac{-3g'(x)}{2x + 1} = \frac{-3g'(-2)}{2(-2) + 1} = \frac{-3(-2)}{-4 + 1} = \frac{6}{-3} = -2$$. 7. **Encontrar a reta tangente $$r$$ ao gráfico de $$g'$$ no ponto de abcissa $$a = -2$$:** A reta tangente a $$g'$$ em $$x = a$$ é dada por: $$y = g'(a) + g''(a)(x - a)$$. 8. **Calcular $$g''(x)$$:** Seja $$g'(x) = \frac{N(x)}{D(x)}$$ com $$N(x) = 3x^2 + 6x - 2$$ e $$D(x) = x^2 + 2x + 1$$. Derivando usando a regra do quociente: $$g''(x) = \frac{N'(x)D(x) - N(x)D'(x)}{D(x)^2}$$. Calculando as derivadas: $$N'(x) = 6x + 6$$ $$D'(x) = 2x + 2$$ Logo: $$g''(x) = \frac{(6x + 6)(x^2 + 2x + 1) - (3x^2 + 6x - 2)(2x + 2)}{(x^2 + 2x + 1)^2}$$. 9. **Calcular $$g''(-2)$$:** Primeiro, calcular cada termo: $$N'(-2) = 6(-2) + 6 = -12 + 6 = -6$$ $$D(-2) = (-2)^2 + 2(-2) + 1 = 4 - 4 + 1 = 1$$ $$N(-2) = 3(4) + 6(-2) - 2 = 12 - 12 - 2 = -2$$ $$D'(-2) = 2(-2) + 2 = -4 + 2 = -2$$ Substituindo: $$g''(-2) = \frac{(-6)(1) - (-2)(-2)}{1^2} = \frac{-6 - 4}{1} = -10$$. 10. **Equação da reta tangente $$r$$:** Sabemos que $$a = -2$$, $$g'(a) = g'(-2) = -2$$ e $$g''(a) = -10$$. Portanto: $$y = -2 + (-10)(x + 2) = -2 - 10x - 20 = -10x - 22$$. **Resposta final:** $$\boxed{y = -10x - 22}$$