1. **Planteamiento del problema:** Se tiene la función por tramos de temperatura $T(t)$: $$ T(t) = \begin{cases} 2t^2 - 8t + 10 & 0 \leq t \leq 3 \\ kt + 1 & t > 3 \end{cases} $$ con $t \in [0,6]$ y $k$ constante. Se pide: a) Encontrar $k$ para que $T(t)$ sea continua en $t=3$. b) Calcular $T''(t)$ para $0 \leq t \leq 3$ e interpretar físicamente. c) Evaluar $T'(2)$ y $T'(5)$ e interpretar cada resultado. --- 2. **a) Continuidad en $t=3$:** Para que $T(t)$ sea continua en $t=3$, los límites laterales deben coincidir: $$ \lim_{t \to 3^-} T(t) = \lim_{t \to 3^+} T(t) = T(3) $$ Calculamos el límite izquierdo usando el primer tramo: $$ T(3) = 2(3)^2 - 8(3) + 10 = 2 \times 9 - 24 + 10 = 18 - 24 + 10 = 4 $$ El límite derecho es: $$ \lim_{t \to 3^+} T(t) = k(3) + 1 = 3k + 1 $$ Igualamos para continuidad: $$ 4 = 3k + 1 $$ Despejamos $k$: $$ 3k = 4 - 1 = 3 \Rightarrow k = \frac{3}{3} = 1 $$ --- 3. **b) Segunda derivada $T''(t)$ para $0 \leq t \leq 3$:** Primero derivamos $T(t) = 2t^2 - 8t + 10$: $$ T'(t) = \frac{d}{dt}(2t^2 - 8t + 10) = 4t - 8 $$ Derivamos nuevamente para obtener $T''(t)$: $$ T''(t) = \frac{d}{dt}(4t - 8) = 4 $$ **Interpretación física:** La segunda derivada representa la aceleración o tasa de cambio de la velocidad de enfriamiento. Aquí, $T''(t) = 4$ es constante y positiva, lo que indica que la tasa de cambio de la temperatura está aumentando linealmente en el intervalo $0 \leq t \leq 3$. --- 4. **c) Evaluar $T'(2)$ y $T'(5)$ e interpretar:** Para $t=2$ (primer tramo): $$ T'(2) = 4(2) - 8 = 8 - 8 = 0 $$ Para $t=5$ (segundo tramo), recordemos que para $t > 3$, $T(t) = kt + 1$ con $k=1$: $$ T'(t) = \frac{d}{dt}(t + 1) = 1 $$ Entonces: $$ T'(5) = 1 $$ **Interpretación:** - $T'(2) = 0$ significa que en $t=2$ la temperatura no está cambiando instantáneamente, es un punto crítico donde la temperatura se estabiliza momentáneamente. - $T'(5) = 1$ indica que en $t=5$ la temperatura está aumentando a una tasa constante de 1 °C por minuto. --- **Respuesta final:** - a) $k = 1$ - b) $T''(t) = 4$ para $0 \leq t \leq 3$, representa aceleración constante en la tasa de cambio de temperatura. - c) $T'(2) = 0$ (temperatura momentáneamente estable), $T'(5) = 1$ (temperatura aumentando a tasa constante).