1. O problema pede para encontrar o valor de $k$ para que a reta tangente ao gráfico da função $g(x) = \sin(2x)\cos x + kx^2$ no ponto de abscissa $x = \frac{\pi}{4}$ seja horizontal. 2. Uma reta tangente é horizontal quando sua inclinação (derivada da função) é zero nesse ponto. Portanto, precisamos calcular $g'(x)$ e igualar $g'(\frac{\pi}{4}) = 0$. 3. Derivando $g(x)$: $$g(x) = \sin(2x)\cos x + kx^2$$ Usamos a regra do produto para $\sin(2x)\cos x$: $$\frac{d}{dx}[\sin(2x)\cos x] = \cos(2x) \cdot 2 \cdot \cos x + \sin(2x) \cdot (-\sin x) = 2\cos(2x)\cos x - \sin(2x)\sin x$$ E a derivada de $kx^2$ é: $$\frac{d}{dx}[kx^2] = 2kx$$ 4. Logo, $$g'(x) = 2\cos(2x)\cos x - \sin(2x)\sin x + 2kx$$ 5. Avaliando em $x = \frac{\pi}{4}$: Calculamos cada termo: $$\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$$ $$\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Substituindo: $$g'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cdot 0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2k \cdot \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{2}k$$ 6. Como a reta tangente é horizontal, temos: $$g'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0 \Rightarrow -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{2}k = 0$$ 7. Resolvendo para $k$: $$\frac{\pi}{2}k = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$k = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\pi}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{\sqrt{2}}{\pi}$$ 8. Portanto, o valor de $k$ é: $$\boxed{\frac{\sqrt{2}}{\pi}}$$ 9. A alternativa correta é a letra B.