1. Planteamos el problema: Dada la ecuación implícita $$x^2 y - x z^2 = y^2 z + x y - 1$$ que define a $$z$$ como función de $$x$$ y $$y$$, y el punto $$P(0,-1)$$, debemos encontrar: - El valor de la máxima derivada direccional de $$z$$ en $$P$$. - El valor de la derivada direccional de $$z$$ en $$P$$ en la dirección $$\mathbf{v} = -3\mathbf{j} + \mathbf{i}$$. 2. Para derivadas direccionales de funciones implícitas, usamos derivación implícita y gradientes. 3. Definimos $$F(x,y,z) = x^2 y - x z^2 - y^2 z - x y + 1 = 0$$. 4. Calculamos los gradientes parciales: $$\frac{\partial F}{\partial x} = 2 x y - z^2 - y$$ $$\frac{\partial F}{\partial y} = x^2 - 2 y z - x$$ $$\frac{\partial F}{\partial z} = -2 x z - y^2$$ 5. Evaluamos en $$P(0,-1)$$ y $$z = z(0,-1)$$. Primero, encontramos $$z$$ en $$P$$: Sustituimos $$x=0$$, $$y=-1$$ en la ecuación original: $$0^2 \cdot (-1) - 0 \cdot z^2 = (-1)^2 \cdot z + 0 \cdot (-1) - 1$$ $$0 = z - 1$$ De aquí, $$z = 1$$. 6. Evaluamos los gradientes en $$P(0,-1,1)$$: $$F_x = 2 \cdot 0 \cdot (-1) - 1^2 - (-1) = 0 - 1 + 1 = 0$$ $$F_y = 0^2 - 2 \cdot (-1) \cdot 1 - 0 = 0 + 2 - 0 = 2$$ $$F_z = -2 \cdot 0 \cdot 1 - (-1)^2 = 0 - 1 = -1$$ 7. La derivada implícita de $$z$$ respecto a $$x$$ y $$y$$ es: $$\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F_x}{F_z} = - \frac{0}{-1} = 0$$ $$\frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{F_y}{F_z} = - \frac{2}{-1} = 2$$ 8. El gradiente de $$z$$ en $$P$$ es: $$\nabla z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right) = (0, 2)$$ 9. La máxima derivada direccional es la magnitud del gradiente: $$\max D_{\mathbf{u}} z = ||\nabla z|| = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$$ 10. Para la derivada direccional en la dirección $$\mathbf{v} = -3\mathbf{j} + \mathbf{i} = (1, -3)$$, primero normalizamos $$\mathbf{v}$$: $$||\mathbf{v}|| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$$ $$\mathbf{u} = \left( \frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{-3}{\sqrt{10}} \right)$$ 11. La derivada direccional es el producto punto: $$D_{\mathbf{u}} z = \nabla z \cdot \mathbf{u} = 0 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} + 2 \cdot \frac{-3}{\sqrt{10}} = - \frac{6}{\sqrt{10}}$$ 12. Resumen: - Máxima derivada direccional en $$P$$: $$2$$ - Derivada direccional en $$P$$ en dirección $$\mathbf{v}$$: $$- \frac{6}{\sqrt{10}}$$